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Questão de Matemática — Progressão Aritmética - PA — FGV 2023

MatemáticaProgressão Aritmética - PA
Código
fg069356
Banca
FGV
Órgão
SEFAZ-MT
Ano
2023
Nível
Superior
Cargo
SEFAZ- MT - Fiscal de Tributos Estaduais (FTE) - Manhã
Seja C um conjunto de números inteiros consecutivos. O menor elemento de C é igual a 10 e a soma dos elementos de C vale 420.O número de elementos de C é igual a
  1. A19.
  2. B20.
  3. C21.
  4. D22.
  5. E23.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoC — 21.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a 21 elementos (alternativa C).

A ideia por trás

Uma progressão aritmética (PA) é uma sequência em que cada termo é obtido somando-se uma constante (a razão) ao anterior. Aqui, os números são inteiros consecutivos, então a razão é 1. A soma dos n primeiros termos de uma PA é dada por S_n = (a_1 + a_n) * n / 2, onde a_1 é o primeiro termo e a_n é o último. Essa fórmula vem do fato de que a soma de pares equidistantes é constante. Nesta questão, conhecemos a soma e o primeiro termo, mas não o número de termos nem o último; como os termos são consecutivos, o último termo depende de n, o que nos permite montar uma equação do segundo grau e resolver para n.

O que a questão dá

  • menor elemento = 10

  • soma dos elementos = 420

  • números inteiros consecutivos (razão = 1)

O que queremos: o número de elementos do conjunto C

Passo 1 — Expressar o último termo em função de n

Precisamos relacionar o último termo com o número de elementos, pois a fórmula da soma usa tanto o primeiro quanto o último termo. Como os números são consecutivos, cada termo é o anterior mais 1, então o enésimo termo é o primeiro mais (n-1) vezes a razão.

Por que esta fórmula: Em uma PA, o termo geral é a_n = a_1 + (n-1)r. Aqui r = 1, então a_n = 10 + (n-1)1 = n + 9.

an=a1+(n−1)⋅ra_n = a_1 + (n-1) \cdot r

De onde vem cada valor: a1a_1 = enunciado: menor elemento = 10 · nn = número de elementos (incógnita) · rr = enunciado: inteiros consecutivos, razão = 1

an=10+(n−1)⋅1=n+9a_n = 10 + (n-1) \cdot 1 = n + 9
an=n+9a_n = \boxed{\text{n} + 9}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que a razão é 1 e tentar usar outro valor, ou errar o sinal na expressão (n-1).

Passo 2 — Montar a equação da soma

Temos a soma (420) e expressões para o primeiro e último termos. A fórmula da soma da PA relaciona esses valores com n, permitindo criar uma equação para encontrar n.

Por que esta fórmula: A soma dos n primeiros termos de uma PA é S_n = (a_1 + a_n) * n / 2. Essa é a fórmula padrão para soma de PA, derivada do fato de que a soma dos extremos é constante.

Sn=(a1+an)⋅n2S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}

De onde vem cada valor: SnS_n = enunciado: soma = 420 · a1a_1 = enunciado: 10 · ana_n = passo 1: n + 9 · nn = incógnita

420=(10+(n+9))⋅n2420 = \frac{(10 + (n+9)) \cdot n}{2}
420=(n+19)⋅n2420 = \boxed{\frac{(n+19) \cdot n}{2}}
NÃO CAIA NESSA!

Trocar a ordem dos termos ou esquecer de multiplicar por 2 ao simplificar.

Passo 3 — Transformar em equação do segundo grau

A equação atual tem n no numerador e no denominador (divisão por 2). Para resolver, precisamos eliminar a fração e rearranjar os termos, obtendo uma equação quadrática padrão.

Por que esta fórmula: Multiplicando ambos os lados por 2 e expandindo o produto, chegamos a uma equação do tipo ax² + bx + c = 0, que pode ser resolvida pela fórmula de Bhaskara.

n2+19n−840=0n^{2} + 19n - 840 = 0

De onde vem cada valor: n2n^{2} = do produto n * n · 19n19n = do produto 19 * n · −840-840 = de -420 * 2

840=n2+19n⇒n2+19n−840=0840 = n^{2} + 19n \Rightarrow n^{2} + 19n - 840 = 0
n2+19n−840=0n^{2} + 19n - 840 = \boxed{0}
NÃO CAIA NESSA!

Errar o sinal ao passar o 840 para o outro lado, ou não multiplicar corretamente por 2.

Passo 4 — Calcular o discriminante

Para resolver a equação do segundo grau, precisamos do discriminante Δ = b² - 4ac, que indica se há raízes reais e quantas.

Por que esta fórmula: Na fórmula de Bhaskara, o discriminante determina as soluções. Aqui a = 1, b = 19, c = -840.

Δ=b2−4ac\Delta = b^{2} - 4ac

De onde vem cada valor: bb = coeficiente de n: 19 · aa = coeficiente de n²: 1 · cc = termo independente: -840

Δ=192−4⋅1⋅(−840)=361+3360=3721\Delta = 19^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-840) = 361 + 3360 = 3721
Δ=3721\Delta = \boxed{3721}
NÃO CAIA NESSA!

Errar o sinal de c ao multiplicar -4 * 1 * (-840), ou esquecer de elevar 19 ao quadrado.

Passo 5 — Extrair a raiz quadrada do discriminante

A fórmula de Bhaskara usa a raiz quadrada de Δ. Precisamos desse valor para encontrar as raízes.

Por que esta fórmula: A raiz quadrada de um número positivo tem dois valores: positivo e negativo. Aqui, √3721 = 61, pois 61² = 3721.

Δ=3721\sqrt{\Delta} = \sqrt{3721}

De onde vem cada valor: Δ\Delta = passo 4: 3721

3721=61=61\sqrt{3721} = 61 = \boxed{61}
NÃO CAIA NESSA!

Confundir a raiz com outro número, ou esquecer que há duas raízes (positiva e negativa).

Passo 6 — Aplicar a fórmula de Bhaskara

Com o discriminante e sua raiz, podemos calcular os valores de n que satisfazem a equação.

Por que esta fórmula: A fórmula de Bhaskara é n = (-b ± √Δ) / (2a). Substituímos os coeficientes e a raiz para obter as duas soluções.

n=−b±Δ2an = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}

De onde vem cada valor: bb = 19 · Δ\sqrt{\Delta} = passo 5: 61 · aa = 1

n=−19±612n = \frac{-19 \pm 61}{2}

n = 21 ou n = -40

NÃO CAIA NESSA!

Errar o sinal de b, ou esquecer de dividir por 2a.

Passo 7 — Descartar a raiz negativa

O número de elementos de um conjunto não pode ser negativo, então a solução n = -40 não faz sentido no contexto. Resta apenas n = 21.

n=21n = \boxed{21}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de verificar se a raiz é plausível, ou aceitar a negativa por engano.

Resposta: 21 elementos (alternativa C)

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