Matemática · FGV · 2023 | Questão sqc-fg069358

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 3,08 cm (alternativa B).

A ideia por trás

O volume de um paralelepípedo é o produto de suas três dimensões, mas aqui o que importa é o volume da areia, que é fixo. Quando a caixa é apoiada em uma face, a areia forma um prisma cuja base é essa face e cuja altura é a altura da areia. Como o volume da areia não muda, a altura é inversamente proporcional à área da base: se a área da base diminui, a altura aumenta na mesma proporção. Nesta questão, precisamos identificar as áreas das faces, escolher a maior e a menor, calcular o volume com a maior e depois dividir pela menor para achar a nova altura.

O que a questão dá

dimensões da caixa: 12,32 cm, 8,84 cm e 4,16 cm
altura da areia na face de maior área: 1,04 cm

O que queremos: a altura da areia quando a caixa é apoiada na face de menor área

Passo 1 — Calcular as áreas das três faces

Para saber qual face tem maior área e qual tem menor área, precisamos calcular a área de cada par de dimensões. A área de uma face retangular é o produto de seus dois lados.

Por que esta fórmula: A área de um retângulo é base vezes altura; aqui cada face é um retângulo com lados iguais a duas das dimensões da caixa.

A = a \times b

De onde vem cada valor: $a$ = enunciado: uma das dimensões (12,32 cm, 8,84 cm ou 4,16 cm) · $b$ = enunciado: outra dimensão (diferente de a)

A_1 = 12{,}32 \times 8{,}84 = 108{,}9088

$A_1$ = 108,9088 cm², 51,2512 cm² e 36,7744 cm²

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de calcular todas as três combinações e escolher a maior ou menor errada.

Passo 2 — Identificar a face de maior e a de menor área

O enunciado diz que a areia atinge 1,04 cm quando apoiada na face de maior área; precisamos saber qual é essa face para calcular o volume. Também precisamos da face de menor área para a nova altura.

maior área: 108,9088 cm²; menor área: 36,7744 cm²

NÃO CAIA NESSA!

Confundir a ordem das áreas, por exemplo, achar que a face com 51,2512 é a menor.

Passo 3 — Calcular o volume da areia

O volume da areia é constante e é dado pelo produto da área da base pela altura da areia. Usamos a face de maior área e a altura fornecida para achar esse volume.

Por que esta fórmula: O volume de um prisma (a areia) é área da base vezes altura. Como a base é a face de apoio e a altura é a altura da areia, essa é a fórmula direta.

V = A_{base} \times h

De onde vem cada valor: $A_{base}$ = passo 2: 108,9088 cm² (maior área) · $h$ = enunciado: 1,04 cm

V = 108{,}9088 \times 1{,}04 = 113{,}265152 = \boxed{113{,}265152\ \text{cm}^{3}}

NÃO CAIA NESSA!

Usar a área errada ou esquecer de multiplicar pela altura.

Passo 4 — Calcular a nova altura na face menor

Com o volume constante e a nova área da base (menor), a altura da areia deve ser tal que o produto área × altura continue igual ao volume. Isolamos a altura na fórmula do volume.

Por que esta fórmula: A mesma fórmula do volume, mas agora resolvendo para h: h = V / A_base. Como o volume não muda, essa divisão dá a nova altura.

h = \frac{V}{A_{base}}

De onde vem cada valor: $V$ = passo 3: 113,265152 cm³ · $A_{base}$ = passo 2: 36,7744 cm² (menor área)

h = \frac{113{,}265152}{36{,}7744} = 3{,}08 = \boxed{3{,}08\ \text{cm}}

NÃO CAIA NESSA!

Inverter a divisão (dividir a área pelo volume) ou usar a área intermediária.

Resposta: 3,08 cm (alternativa B)

Questão de Matemática — Geometria Espacial — FGV 2023

Resolução

A ideia por trás

O que a questão dá

Passo 1 — Calcular as áreas das três faces

Passo 2 — Identificar a face de maior e a de menor área

Passo 3 — Calcular o volume da areia

Passo 4 — Calcular a nova altura na face menor