GabaritoE — 25,0
Gabarito: letra E. A média de Y é E(Y) = 2·E(X) + 5 = 2·2 + 5 = 9, e a variância de Y é Var(Y) = 2²·Var(X) = 4·4 = 16. A soma pedida é 9 + 16 = 25. A questão aplica as propriedades de esperança e variância sob transformação linear, que independem da distribuição de X.
A transformação Y = aX + b é linear. A esperança é um operador linear: E(aX + b) = a·E(X) + b. Já a variância não é afetada pela constante aditiva b, mas é multiplicada pelo quadrado do coeficiente a: Var(aX + b) = a²·Var(X). Isso ocorre porque a variância mede a dispersão em torno da média, e somar uma constante apenas desloca todos os valores, sem alterar a dispersão; multiplicar por a, porém, escala a dispersão por |a|, e a variância, por a².
A pegadinha clássica da banca é o candidato esquecer de elevar o coeficiente ao quadrado ao calcular a variância, obtendo 2·4 = 8 em vez de 4·4 = 16, e somar com a média 9, chegando a 17 (que nem aparece nas alternativas). Outro erro comum é aplicar a constante aditiva na variância, somando 5, o que levaria a 21. A questão é direta, mas exige domínio das propriedades.
O valor 4,0 não corresponde a nenhuma das grandezas calculadas. Seria o resultado de somar a média original (2) com a variância original (4) e subtrair 2, ou um mero distrator numérico sem relação com as propriedades aplicadas.
O valor 8,0 é exatamente o resultado de calcular a variância de Y de forma errada, sem elevar o coeficiente ao quadrado: 2·Var(X) = 2·4 = 8. O candidato que esquece a propriedade Var(aX) = a²·Var(X) cai nessa alternativa. A média correta (9) somada a esse valor errado daria 17, que não está nas opções.
O valor 16,0 é apenas a variância correta de Y (4·4 = 16), sem somar a média de Y (9). O candidato que calcula a variância corretamente, mas esquece de somar a média transformada, marca esta alternativa.
O valor 20,0 é o resultado de somar a média original (2) com a variância transformada (16) e adicionar 2, ou um distrator que mistura valores originais e transformados. Não há operação que produza 20 a partir dos dados.
Aplicando as propriedades: E(Y) = 2·2 + 5 = 9 e Var(Y) = 2²·4 = 16. A soma é 9 + 16 = 25. A alternativa está correta porque utiliza corretamente as propriedades de esperança e variância sob transformação linear.
Em questões de transformação linear Y = aX + b, memorize:
E(Y) = a·E(X) + b
Var(Y) = a²·Var(X)
A constante b nunca afeta a variância. Sempre eleve o coeficiente a ao quadrado. Se a questão pedir o desvio padrão, lembre-se de que σ(Y) = |a|·σ(X).
Gabarito: letra E
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