Questão de Matemática — Geometria Plana — FGV 2023

Polígonos: contagem de círculos com diâmetro entre vértices

Gabarito: letra B. O número de círculos cujo diâmetro tem extremidades em dois vértices do polígono é igual ao número de pares de vértices distintos, ou seja, a combinação de $n$ vértices tomados 2 a 2: $\binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2} = \frac{n^2 - n}{2}$. Cada par de vértices determina um único segmento, e cada segmento é o diâmetro de exatamente um círculo (o círculo cujo centro é o ponto médio do segmento e cujo raio é metade do comprimento do segmento).

A questão mistura dois conceitos que parecem parecidos, mas são diferentes: diagonal e segmento entre dois vértices quaisquer. A diagonal é o segmento que une vértices não consecutivos; já o segmento que une quaisquer dois vértices inclui também os lados do polígono. O diâmetro do círculo pode ser qualquer segmento cujas extremidades sejam vértices — inclusive um lado. Por isso, não se usa a fórmula de diagonais $\frac{n(n-3)}{2}$, mas sim o total de pares de vértices.

Vamos pensar com calma. Um polígono convexo de $n$ lados tem $n$ vértices. Para formar um círculo, precisamos escolher dois vértices distintos que serão as extremidades do diâmetro. A ordem não importa: o par $(A,B)$ gera o mesmo círculo que o par $(B,A)$. Portanto, o número de círculos é o número de combinações de $n$ elementos tomados 2 a 2:

Essa é exatamente a alternativa B.

Alternativa A — ❌ Incorreta

$n^2 - n$ é o dobro do número correto. Esse valor corresponde a $2 \times \binom{n}{2}$, ou seja, conta cada par de vértices duas vezes (como se a ordem importasse). Também é o numerador da fórmula correta antes da divisão por 2. Quem conta pares ordenados cai aqui.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

$\frac{n^2 - n}{2} = \frac{n(n-1)}{2} = \binom{n}{2}$. É exatamente o número de pares não ordenados de vértices distintos. Cada par determina um único círculo cujo diâmetro é o segmento que os une. Portanto, é a resposta certa.

Alternativa C — ❌ Incorreta

$\frac{n^2 - n}{3}$ não corresponde a nenhuma contagem natural de pares de vértices. É um distrator numérico: parece uma variação da fórmula correta, mas o denominador 3 não tem justificativa combinatória. O número de pares é sempre $\frac{n(n-1)}{2}$, nunca dividido por 3.

Alternativa D — ❌ Incorreta

$\frac{n^2 - n}{4}$ também é um distrator. O denominador 4 não tem relação com a contagem de pares. Talvez o candidato confunda com a fórmula de diagonais que passam pelo centro em polígonos regulares (que é $n/2$ para $n$ par), mas aqui não há essa restrição.

Alternativa E — ❌ Incorreta

$\frac{n^2 - n}{n} = n - 1$. Esse valor seria o número de pares que incluem um vértice fixo, mas não o total de pares do polígono. É um distrator que surge ao simplificar incorretamente a expressão, esquecendo que o denominador deve ser 2, não $n$.

Gabarito: letra B.