Questão de Matemática — Raciocínio Lógico — FGV 2023

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a 24 partidas (alternativa A).

A ideia por trás

Quando um problema fala em fração de vitórias, ele está comparando o número de vitórias com o total de jogos. Como não há empates, o total de jogos de um time é a soma de vitórias e derrotas. A fração de vitórias é o número de vitórias dividido pelo total; a fração de derrotas é o complemento (1 menos a fração de vitórias). Aqui, as frações são 3/4 e 5/6, o que significa que A vence 3 de cada 4 jogos e B vence 5 de cada 6. Além disso, o problema dá duas diferenças entre os times: A tem 3 vitórias a mais e 3 derrotas a mais que B. Isso cria um sistema de equações: uma para vitórias, outra para derrotas. A chave é perceber que, somando as duas diferenças, obtemos que o total de jogos de A é 6 a mais que o de B. Com isso, podemos montar uma equação usando as frações e resolver para o total de jogos de B, e depois achar o de A.

O que a questão dá

• A ganhou 3/4 das partidas que disputou

• B ganhou 5/6 das partidas que disputou

• A ganhou 3 jogos a mais que B

• A perdeu 3 jogos a mais que B

O que queremos: o número de partidas que o time A disputou

Passo 1 — Definir as variáveis para vitórias e derrotas

Precisamos organizar as informações do enunciado em símbolos matemáticos para poder montar equações. Vamos chamar de V_A e D_A as vitórias e derrotas do time A, e V_B e D_B as do time B. Como não há empates, o total de jogos de cada time é a soma de suas vitórias e derrotas.

Passo 2 — Escrever as frações de vitórias como equações

O enunciado diz que A ganhou 3/4 das partidas que disputou, ou seja, o número de vitórias de A é 3/4 do total de jogos de A. O mesmo para B com 5/6. Isso nos dá duas equações que relacionam vitórias com totais.

Por que esta fórmula: A fração de vitórias é definida como vitórias dividido pelo total de jogos. Portanto, se A ganhou 3/4, então V_A = (3/4) * T_A, onde T_A = V_A + D_A. Analogamente para B.

De onde vem cada valor: $V_A$ = definido no passo 1 · $T_A$ = total de jogos de A, ainda não conhecido · $V_B$ = definido no passo 1 · $T_B$ = total de jogos de B, ainda não conhecido

Passo 3 — Escrever as diferenças de vitórias e derrotas

O problema dá duas comparações entre os times: A ganhou 3 jogos a mais que B e perdeu 3 jogos a mais que B. Isso nos dá duas equações adicionais, que são essenciais para montar o sistema.

Por que esta fórmula: A frase 'A ganhou 3 jogos a mais que B' significa que o número de vitórias de A é igual ao de B mais 3. Analogamente para derrotas.

De onde vem cada valor: $V_A$ = passo 1 · $V_B$ = passo 1 · $D_A$ = passo 1 · $D_B$ = passo 1

Passo 4 — Descobrir a diferença entre os totais de jogos

Somando as duas equações do passo 3, obtemos uma relação entre os totais de jogos. Isso é útil porque as frações envolvem os totais, e essa relação simplifica o sistema.

Por que esta fórmula: Somando V_A = V_B + 3 e D_A = D_B + 3, temos (V_A + D_A) = (V_B + D_B) + 6. Como V_A + D_A = T_A e V_B + D_B = T_B, concluímos que T_A = T_B + 6.

De onde vem cada valor: $T_A$ = soma de V_A e D_A · $T_B$ = soma de V_B e D_B

Passo 5 — Substituir as frações na diferença de vitórias

Agora temos uma equação que relaciona T_A e T_B, e também sabemos que V_A = (3/4)T_A e V_B = (5/6)T_B. Substituindo essas expressões na equação de diferença de vitórias, obtemos uma equação apenas com T_B.

Por que esta fórmula: Da equação V_A = V_B + 3, substituímos V_A por (3/4)T_A e V_B por (5/6)T_B. Depois usamos T_A = T_B + 6 para eliminar T_A.

De onde vem cada valor: $\frac{3}{4} T_A$ = passo 2 · $\frac{5}{6} T_B$ = passo 2 · $3$ = enunciado: A ganhou 3 jogos a mais que B

Passo 6 — Resolver a equação para achar T_B

A equação do passo 5 tem apenas T_B como incógnita. Vamos resolvê-la algebricamente para encontrar o total de jogos de B.

Por que esta fórmula: Multiplicamos ambos os lados por 12 (o MMC de 4 e 6) para eliminar as frações, depois isolamos T_B.

De onde vem cada valor: $9$ = 3/4 * 12 = 9 · $10$ = 5/6 * 12 = 10 · $36$ = 3 * 12 = 36

Passo 7 — Calcular o total de jogos de A

Já sabemos que T_A = T_B + 6 (passo 4) e que T_B = 18 (passo 6). Basta somar para obter o total de jogos de A.

Por que esta fórmula: A relação T_A = T_B + 6 foi deduzida no passo 4.

De onde vem cada valor: $T_B$ = passo 6: 18 · $6$ = passo 4

Resposta: 24 partidas (alternativa A)