Questão de Matemática — Relações Trigonométricas no Triângulo Retângulo, Leis dos Senos e Cossenos. — FGV 2023

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 4 (alternativa B).

A ideia por trás

Em um triângulo retângulo, os dois ângulos agudos são complementares, ou seja, somam 90°. Isso vem do fato de que a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é 180°, e o ângulo reto já ocupa 90°, restando 90° para os outros dois. Números primos são aqueles maiores que 1 que só têm dois divisores: 1 e ele mesmo. A relação que governa é x + y = 90°, e como x e y são primos, precisamos encontrar pares de primos que somam 90. A diferença y − x será tanto menor quanto mais próximos os primos estiverem. Nesta questão, devemos listar os pares de primos que somam 90 e escolher o de menor diferença, verificando se ambos são realmente primos.

O que a questão dá

• x e y são ângulos agudos de um triângulo retângulo

• x < y

• x e y são números primos

O que queremos: o menor valor possível da diferença y − x

Passo 1 — Escrever a soma dos ângulos agudos

Em um triângulo retângulo, os ângulos agudos são complementares, pois a soma dos ângulos internos é 180° e o ângulo reto já é 90°. Assim, a soma dos dois agudos é 90°, o que nos dá a equação x + y = 90°.

Por que esta fórmula: É a propriedade fundamental do triângulo retângulo: os ângulos agudos somam 90°.

De onde vem cada valor: $x$ = enunciado: ângulo agudo · $y$ = enunciado: ângulo agudo

Passo 2 — Listar pares de primos que somam 90

Como x e y são primos e somam 90, precisamos encontrar todos os pares de primos (x, y) com x < y que satisfazem x + y = 90. Isso é feito testando primos menores que 45 (pois x < y e x + y = 90).

Por que esta fórmula: A condição x + y = 90 restringe os possíveis valores de x a primos menores que 45, pois se x ≥ 45, então y ≤ 45, mas x < y, então x < 45.

Pares: (7,83), (11,79), (13,77), (17,73), (19,71), (23,67), (29,61), (31,59), (37,53), (41,49), (43,47)

Passo 3 — Descartar pares com números não primos

Dos pares listados, alguns contêm números que não são primos, como 77 (7×11) e 49 (7²). Precisamos eliminá-los para que x e y sejam realmente primos.

Por que esta fórmula: A definição de número primo: só tem dois divisores. 77 e 49 têm mais de dois divisores, então não são primos.

Pares válidos: (7,83), (11,79), (17,73), (19,71), (23,67), (29,61), (31,59), (37,53), (43,47)

Passo 4 — Calcular as diferenças de cada par

Para encontrar a menor diferença, precisamos calcular y − x para cada par válido e comparar.

Por que esta fórmula: A diferença é simplesmente a subtração entre o maior e o menor.

De onde vem cada valor: $y$ = passo 3: pares válidos · $x$ = passo 3: pares válidos

$d$ = Diferenças: 76, 68, 56, 52, 44, 32, 28, 16, 4

Passo 5 — Escolher a menor diferença

A questão pede o menor valor possível da diferença, então entre as diferenças calculadas, a menor é 4, do par (43, 47).

Por que esta fórmula: Comparando os valores, 4 é o menor.

Resposta: 4 (alternativa B)