Questão de Matemática — Polígonos Regulares — FGV 2023

Hexágono regular: razão entre a área do hexágono e a área do triângulo ADF

Gabarito: letra B (razão = 3). Em um hexágono regular, o triângulo formado por três vértices alternados (ADF) tem exatamente um terço da área do hexágono. Isso decorre da decomposição do hexágono em 6 triângulos equiláteros congruentes: o triângulo ADF é formado por 2 desses triângulos, enquanto o hexágono inteiro é formado por 6. Portanto, a razão entre a área do hexágono e a área do triângulo ADF é $\frac{6}{2} = 3$.

Vamos entender isso com calma. Um hexágono regular pode ser dividido em 6 triângulos equiláteros congruentes, traçando segmentos do centro até cada vértice. Cada um desses triângulos tem área $S$. Assim, a área total do hexágono é $6S$.

O triângulo ADF, formado pelos vértices A, D e F (que são alternados — A, D e F são vértices que pulam um vértice entre eles), é um triângulo equilátero maior. Ele é composto por exatamente 2 desses triângulos equiláteros menores. Por quê? Porque o triângulo ADF tem como lados as diagonais que ligam vértices alternados, e essas diagonais dividem o hexágono em duas regiões: o triângulo ADF e três triângulos menores (ABF, BCD e DEF). Cada um desses triângulos menores é congruente aos triângulos equiláteros da decomposição pelo centro. Assim, o triângulo ADF ocupa 2 dos 6 triângulos equiláteros, ou seja, sua área é $2S$.

Portanto, a razão pedida é:

Essa é uma propriedade clássica do hexágono regular: o triângulo formado por três vértices alternados tem área igual a um terço da área do hexágono.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que a razão é 4. Isso corresponderia a uma área do triângulo ADF de $\frac{1}{4}$ da área do hexágono, o que não ocorre. O triângulo ADF ocupa 2 dos 6 triângulos equiláteros, ou seja, $\frac{1}{3}$ da área, não $\frac{1}{4}$.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, a área do hexágono é $6S$ e a do triângulo ADF é $2S$, logo a razão é $\frac{6S}{2S} = 3$. A alternativa está correta.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Apresenta $\frac{3\sqrt{3}}{2}$. Esse valor não corresponde à razão entre as áreas. Ele poderia aparecer se o aluno calculasse a área do triângulo ADF em função do lado $\ell$ e cometesse um erro na simplificação, mas a razão correta é um número inteiro, 3.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Apresenta $2\sqrt{3}$. Esse valor também não corresponde à razão. A razão entre as áreas de figuras semelhantes (como o hexágono e o triângulo ADF, que são semelhantes? Na verdade, o triângulo ADF é equilátero, mas não é semelhante ao hexágono) não envolve raiz quadrada nesse caso, pois a razão é simplesmente a contagem de triângulos equiláteros.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Apresenta $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Esse valor é a razão entre o apótema e o lado do hexágono, ou algo similar, mas não a razão entre as áreas. A razão correta é 3.

Gabarito: letra B.