Questão de Matemática — Análise Combinatória em Matemática — FGV 2023

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 8 (letra D).

A ideia por trás

O espaço amostral é o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. Aqui, o experimento consiste em retirar 3 bolas, uma a uma, observando a cor de cada uma. Como há apenas duas cores (verde e laranja), cada retirada tem duas possibilidades de cor. Pelo princípio multiplicativo da contagem, o número total de sequências de cores é 2 × 2 × 2 = 2³ = 8. A pegadinha está em pensar que as bolas são distinguíveis entre si (como se cada bola tivesse um rótulo). Se fossem 10 bolas distintas, o número de sequências seria 10 × 9 × 8 = 720. Mas o enunciado diz que observamos a cor da bola, não a bola em si. Portanto, bolas da mesma cor são equivalentes para o espaço amostral.

O que a questão dá

• 5 bolas verdes e 5 bolas laranjas

• 3 retiradas sem reposição

• observa-se a cor de cada bola

O que queremos: o número de elementos do espaço amostral

Passo 1 — Perceber que só a cor importa

O experimento observa a cor de cada bola retirada, não qual bola específica. Como há 5 bolas verdes e 5 laranjas, mas todas as verdes são iguais entre si e todas as laranjas são iguais entre si, o que diferencia um resultado do outro é apenas a sequência de cores (V ou L) nas 3 retiradas. Por isso, não precisamos contar as bolas individualmente.

Passo 2 — Contar as possibilidades por retirada

Em cada retirada, só existem duas cores possíveis: verde (V) ou laranja (L). Como a cor é o que observamos, cada retirada tem exatamente 2 resultados possíveis. Isso independe de quantas bolas de cada cor restam, pois mesmo que só reste uma cor, a sequência de cores ainda é definida pela cor observada.

Por que esta fórmula: O princípio multiplicativo da contagem diz que, se um evento tem m possibilidades e outro tem n, o total de combinações é m × n. Aqui, cada retirada tem 2 possibilidades, e são 3 retiradas.

De onde vem cada valor: $2$ = enunciado: duas cores possíveis (verde e laranja) · $\times 2$ = enunciado: terceira retirada também tem duas cores

Passo 3 — Multiplicar as possibilidades

Agora que sabemos que cada retirada tem 2 possibilidades, precisamos combinar as três retiradas. O princípio multiplicativo diz que o total de sequências é o produto das possibilidades de cada etapa.

Por que esta fórmula: Como são 3 retiradas independentes (cada uma com 2 opções), o total é 2 × 2 × 2 = 2³.

De onde vem cada valor: $2$ = passo 2: duas cores por retirada · $3$ = enunciado: três retiradas

Resposta: 8 (letra D)