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Questão de Matemática — Progressão Aritmética - PA — FGV 2023

MatemáticaProgressão Aritmética - PA
Código
fg070047
Banca
FGV
Órgão
SME - SP
Ano
2023
Nível
Superior
Cargo
Professor de Ensino Fundamental II e Médio - Matemática
Os 25 números inteiros de −8 a 16 podem ser colocados em uma tabela 5 x 5 de modo que as somas dos números de cada linha e as somas dos números de cada coluna sejam todas iguais.O valor dessa soma comum a todas as linhas e a todas as colunas é
  1. A16.
  2. B17.
  3. C18.
  4. D19.
  5. E20.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoE — 20.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a 20 (letra E).

A ideia por trás

Quando uma tabela tem todas as linhas com a mesma soma, a soma de todos os elementos é igual a essa soma multiplicada pelo número de linhas. O mesmo vale para as colunas. Então, para achar a soma comum, basta dividir a soma total pelo número de linhas (ou colunas). Os números de -8 a 16 formam uma progressão aritmética de razão 1, e a soma de uma PA é dada pela fórmula S = (primeiro + último) * n / 2. Nesta questão, precisamos calcular a soma total dos 25 números e dividir por 5.

O que a questão dá

  • números inteiros de -8 a 16

  • total de números = 25

  • tabela 5 x 5

O que queremos: a soma comum a cada linha e a cada coluna

Passo 1 — Calcular a soma dos 25 números

Para saber a soma total de todos os números da tabela, precisamos somar os inteiros de -8 a 16. Como eles formam uma progressão aritmética, usamos a fórmula da soma da PA.

Por que esta fórmula: A soma de uma progressão aritmética é dada por S = (a1 + an) * n / 2, onde a1 é o primeiro termo, an é o último e n é a quantidade de termos. Essa fórmula vale porque a soma dos extremos é constante.

S25=(a1+an)⋅n2S_{25} = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}

De onde vem cada valor: a1a_1 = enunciado: -8 · ana_n = enunciado: 16 · nn = enunciado: 25

S25=(−8+16)⋅252=100S_{25} = \frac{(-8 + 16) \cdot 25}{2} = \boxed{100}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de dividir por 2, ou usar n = 24 em vez de 25.

Passo 2 — Dividir a soma total pelo número de linhas

Como todas as linhas têm a mesma soma, a soma total é igual a 5 vezes a soma de uma linha. Então, para achar a soma comum, dividimos a soma total por 5.

Por que esta fórmula: Se cada linha soma S, e há 5 linhas, a soma total é 5 * S. Portanto, S = soma total / 5.

S=Stotal5S = \frac{S_{total}}{5}

De onde vem cada valor: StotalS_{total} = passo 1: 100 · 55 = enunciado: tabela 5 x 5

S=1005=20S = \frac{100}{5} = \boxed{20}
NÃO CAIA NESSA!

Dividir por 25 (número de elementos) em vez de 5 (número de linhas).

Resposta: 20 (letra E)

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