Questão de Matemática — Geometria Analítica — FGV 2023
Matemática›Geometria Analítica
Código
fg070049
Banca
FGV
Órgão
SME - SP
Ano
2023
Nível
Superior
Cargo
Professor de Ensino Fundamental II e Médio - Matemática
Considere o ponto P(a, b) do plano cartesiano, sendo a e b maiores do que zero. O ponto P sofre, em sequência, as seguintes transformações:
•Reflexão no eixo-y (ordenadas).
•Reflexão na origem do sistema cartesiano.
•Rotação de 90° em torno da origem no sentido horário.
Sendo Q o ponto resultante dessas transformações, é correto afirmar que as coordenadas de Q são:
AQ(a, b).
BQ(-a, b).
CQ(b, -a).
DQ(-a, -b).
EQ(-b, -a).
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GabaritoE — Q(-b, -a).
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Transformações geométricas no plano cartesiano
Gabarito: letra E — aplicando as três transformações na ordem dada, o ponto Q tem coordenadas (-b, -a). A reflexão no eixo-y inverte o sinal da abscissa; a reflexão na origem inverte ambos os sinais; e a rotação de 90° no sentido horário transforma (x, y) em (y, -x). Aplicando cada passo ao ponto P(a, b), chegamos exatamente a Q(-b, -a).
Vamos entender cada transformação e como elas se compõem. A questão exige aplicar as transformações na ordem dada — essa é a chave. Se você trocar a ordem, o resultado final muda.
As transformações passo a passo
Reflexão no eixo-y (ordenadas): o ponto (x, y) vira (-x, y). A abscissa troca de sinal, a ordenada permanece.
Reflexão na origem: o ponto (x, y) vira (-x, -y). Ambos os sinais são invertidos.
Rotação de 90° no sentido horário: o ponto (x, y) vira (y, -x). As coordenadas trocam de posição e a nova ordenada recebe o sinal trocado.
Aplicando ao ponto P(a, b):
Após a reflexão no eixo-y: (-a, b).
Após a reflexão na origem: (a, -b).
Após a rotação de 90° no sentido horário: (-b, -a).
Portanto, Q = (-b, -a), que corresponde à letra E.
Afirma que Q(a, b), ou seja, que o ponto não mudou. Isso só seria verdade se as transformações se anulassem, o que não ocorre: a reflexão no eixo-y já altera o sinal da abscissa, e as demais transformações continuam modificando as coordenadas. O erro aqui é ignorar completamente as transformações aplicadas.
Alternativa B — ❌ Incorreta
Afirma que Q(-a, b). Esse seria o resultado apenas da primeira transformação (reflexão no eixo-y), mas a questão aplica três transformações em sequência. O erro é parar no primeiro passo e não continuar com as demais transformações.
Alternativa C — ❌ Incorreta
Afirma que Q(b, -a). Esse seria o resultado da rotação de 90° no sentido horário aplicada diretamente ao ponto original P(a, b), sem passar pelas reflexões anteriores. O erro é aplicar apenas a rotação, ignorando as duas reflexões que vêm antes.
Alternativa D — ❌ Incorreta
Afirma que Q(-a, -b). Esse seria o resultado da reflexão na origem aplicada ao ponto original P(a, b), sem passar pela reflexão no eixo-y e pela rotação. O erro é aplicar apenas a reflexão na origem, ignorando as demais transformações.
Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO
Aplicando as três transformações em sequência ao ponto P(a, b):
Reflexão no eixo-y: (-a, b)
Reflexão na origem: (a, -b)
Rotação de 90° no sentido horário: (-b, -a)
Portanto, Q = (-b, -a), que corresponde exatamente à alternativa E.
NÃO CAIA NESSA!
A banca explora a ordem das transformações. Cada alternativa incorreta corresponde a aplicar apenas uma das transformações ou a aplicá-las fora de ordem. O candidato que não segue a sequência exata cai em uma das alternativas erradas. Fique atento: a ordem importa!
PEGA ESSA DICA!
Para resolver questões de transformações geométricas, aplique cada transformação passo a passo, sempre na ordem indicada. Anote o resultado de cada etapa para não se perder. Com treino, você enxerga essas sequências de longe 💪