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Questão de Matemática — Probabilidade — FGV 2023

MatemáticaProbabilidade
Código
fg070051
Banca
FGV
Órgão
SME - SP
Ano
2023
Nível
Superior
Cargo
Professor de Ensino Fundamental II e Médio - Matemática
Em um saco, há 50 bolinhas iguais numeradas de 1 até 50.Retirando uma delas ao acaso, a probabilidade de que seu número não seja nem par nem múltiplo de 3 é igual a
  1. A30%.
  2. B32%.
  3. C34%.
  4. D36%.
  5. E38%.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoC — 34%.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a 34% (letra C).

A ideia por trás

A probabilidade mede a chance de um evento acontecer, variando de 0 (impossível) a 1 (certo). Quando temos dois eventos, a probabilidade de ocorrer pelo menos um deles é dada pela união: P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B). Isso porque somar as probabilidades individuais conta duas vezes os casos que pertencem aos dois eventos, então subtraímos a interseção. O complementar de um evento é a probabilidade de ele NÃO ocorrer, calculada como 1 − P(evento). Nesta questão, queremos a probabilidade de o número não ser par E não ser múltiplo de 3, que é o complementar da união 'ser par OU ser múltiplo de 3'. Então calculamos a união e subtraímos de 1.

O que a questão dá

  • 50 bolinhas numeradas de 1 a 50

  • evento A: número par

  • evento B: número múltiplo de 3

O que queremos: a probabilidade de o número não ser nem par nem múltiplo de 3

Passo 1 — Contar os números pares

Precisamos saber quantos números satisfazem cada condição para calcular as probabilidades. Os pares são os múltiplos de 2.

Por que esta fórmula: A quantidade de múltiplos de um número em um intervalo é dada pelo maior múltiplo dividido pelo número.

npares=502n_{pares} = \frac{50}{2}

De onde vem cada valor: 5050 = enunciado: bolinhas de 1 a 50 · 22 = passo 1: números pares são múltiplos de 2

npares=502=25n_{pares} = \frac{50}{2} = 25

nparesn_{pares} = 25 números pares

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que o 50 é par e contar 24, mas o correto é 25.

Passo 2 — Contar os múltiplos de 3

Precisamos da quantidade de múltiplos de 3 para calcular P(B).

Por que esta fórmula: O maior múltiplo de 3 até 50 é 48, e dividindo por 3 obtemos a quantidade.

nmult3=483n_{mult3} = \frac{48}{3}

De onde vem cada valor: 4848 = enunciado: maior múltiplo de 3 até 50 · 33 = passo 2: múltiplos de 3

nmult3=483=16=16 muˊltiplosde3n_{mult3} = \frac{48}{3} = 16 = \boxed{16\ \text{m}ú\text{ltiplos} \text{de} 3}
NÃO CAIA NESSA!

Contar 17 incluindo o 51, que está fora do intervalo.

Passo 3 — Contar os múltiplos de 6

Os números que são pares E múltiplos de 3 são os múltiplos de 6. Precisamos deles para não contar duas vezes na união.

Por que esta fórmula: A interseção de múltiplos de 2 e 3 são os múltiplos de 6, pois 2×3=6.

nmult6=486n_{mult6} = \frac{48}{6}

De onde vem cada valor: 4848 = enunciado: maior múltiplo de 6 até 50 · 66 = passo 3: 2×3=6

nmult6=486=8=8 muˊltiplosde6n_{mult6} = \frac{48}{6} = 8 = \boxed{8\ \text{m}ú\text{ltiplos} \text{de} 6}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de subtrair a interseção, contando 25+16=41, mas o correto é 33.

Passo 4 — Calcular a probabilidade da união

A probabilidade de ser par OU múltiplo de 3 é a soma das probabilidades individuais menos a interseção, para não contar duas vezes os múltiplos de 6.

Por que esta fórmula: A fórmula da união de eventos é P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B).

P(A∪B)=2550+1650−850P(A \cup B) = \frac{25}{50} + \frac{16}{50} - \frac{8}{50}

De onde vem cada valor: 2525 = passo 1 · 1616 = passo 2 · 88 = passo 3 · 5050 = enunciado: total de bolinhas

P(A∪B)=25+16−850=3350=33 /50P(A \cup B) = \frac{25 + 16 - 8}{50} = \frac{33}{50} = \boxed{33\ /50}
NÃO CAIA NESSA!

Somar 25+16 sem subtrair 8, obtendo 41/50.

Passo 5 — Calcular o complementar

Queremos a probabilidade de NÃO ser par nem múltiplo de 3, que é o complementar da união calculada.

Por que esta fórmula: O complementar de um evento é 1 − P(evento).

P(A‾∩B‾)=1−3350P(\overline{A} \cap \overline{B}) = 1 - \frac{33}{50}

De onde vem cada valor: 11 = probabilidade total · 33/5033/50 = passo 4

P=1−3350=1750=17 /50P = 1 - \frac{33}{50} = \frac{17}{50} = \boxed{17\ /50}
NÃO CAIA NESSA!

Subtrair de 100 em vez de 1, ou esquecer de converter para porcentagem.

Passo 6 — Converter para porcentagem

As alternativas estão em porcentagem, então precisamos expressar a fração como percentual.

Por que esta fórmula: Para converter fração em porcentagem, multiplica-se por 100.

1750×100%\frac{17}{50} \times 100\%

De onde vem cada valor: 17/5017/50 = passo 5

1750×100%=34%=34 %\frac{17}{50} \times 100\% = 34\% = \boxed{34\ \%}
NÃO CAIA NESSA!

Calcular 17/50 = 0,34 e esquecer de multiplicar por 100, ou errar a divisão.

Resposta: 34% (letra C)

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