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Questão de Matemática — Geometria Espacial — FGV 2023

MatemáticaGeometria Espacial
Código
fg070053
Banca
FGV
Órgão
SME - SP
Ano
2023
Nível
Superior
Cargo
Professor de Ensino Fundamental II e Médio - Matemática
Um prisma e uma pirâmide possuem uma mesma quantidade de arestas. A pirâmide possui 13 vértices.O número de vértices do prisma é
  1. A13.
  2. B14.
  3. C15.
  4. D16.
  5. E17.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — 16.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 16 vértices (alternativa D).

A ideia por trás

Prismas e pirâmides são poliedros cujas arestas e vértices podem ser contados a partir do número de lados da base. Em uma pirâmide, a base tem n lados, e o vértice superior é um a mais, totalizando n+1 vértices; as arestas são 2n (n da base + n laterais). Em um prisma, a base tem m lados, e há duas bases, totalizando 2m vértices; as arestas são 3m (m em cada base e m laterais). Essas relações permitem converter a informação de vértices da pirâmide em arestas e depois em vértices do prisma. Nesta questão, precisamos usar essas fórmulas para descobrir o número de lados da base da pirâmide e, em seguida, o do prisma.

O que a questão dá

  • pirâmide com 13 vértices

  • prisma e pirâmide com mesma quantidade de arestas

O que queremos: o número de vértices do prisma

Passo 1 — Descobrir os lados da base da pirâmide

A pirâmide tem 13 vértices, mas a base tem um vértice a menos, pois o vértice superior é separado. Para saber quantas arestas ela tem, precisamos primeiro saber quantos lados tem a base.

Por que esta fórmula: Em uma pirâmide, o número total de vértices é a soma dos vértices da base (n) com o vértice superior (1), então V = n + 1. Isolamos n para achar os lados da base.

Vpir=n+1V_{pir} = n + 1

De onde vem cada valor: VpirV_{pir} = enunciado: 13 vértices · nn = número de lados da base (incógnita)

13=n+113 = n + 1
n=12n = \boxed{12}
NÃO CAIA NESSA!

Achar que a base tem 13 lados, esquecendo de subtrair o vértice superior.

Passo 2 — Calcular as arestas da pirâmide

Agora que sabemos que a base tem 12 lados, podemos calcular quantas arestas a pirâmide tem, pois o prisma terá o mesmo número.

Por que esta fórmula: Uma pirâmide tem arestas na base (n) e arestas laterais (n), totalizando 2n. Isso porque cada vértice da base se liga ao vértice superior.

Apir=2nA_{pir} = 2n

De onde vem cada valor: nn = passo 1: 12

Apir=2×12=24 arestasA_{pir} = 2 \times 12 = \boxed{24\ \text{arestas}}
NÃO CAIA NESSA!

Contar apenas as arestas da base, esquecendo as laterais.

Passo 3 — Descobrir os lados da base do prisma

O prisma tem o mesmo número de arestas que a pirâmide (24). Precisamos descobrir quantos lados tem a base do prisma para depois achar seus vértices.

Por que esta fórmula: Um prisma tem arestas na base inferior (m), na base superior (m) e laterais (m), totalizando 3m. Igualamos isso a 24 para achar m.

Aprisma=3mA_{prisma} = 3m

De onde vem cada valor: AprismaA_{prisma} = passo 2: 24 arestas · mm = número de lados da base do prisma (incógnita)

24=3m24 = 3m
m=8m = \boxed{8}
NÃO CAIA NESSA!

Dividir 24 por 2 em vez de por 3, achando 12 lados.

Passo 4 — Calcular os vértices do prisma

Com a base do prisma tendo 8 lados, podemos calcular quantos vértices ele tem, que é o que a questão pede.

Por que esta fórmula: Um prisma tem duas bases, cada uma com m vértices, então o total é 2m.

Vprisma=2mV_{prisma} = 2m

De onde vem cada valor: mm = passo 3: 8

Vprisma=2×8=16 veˊrticesV_{prisma} = 2 \times 8 = \boxed{16\ \text{v}é\text{rtices}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar m = 12 (da pirâmide) em vez de m = 8, resultando em 24 vértices.

Resposta: 16 vértices (alternativa D)

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