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Questão de Matemática — Progressão Aritmética - PA — FGV 2023

MatemáticaProgressão Aritmética - PA
Código
fg070054
Banca
FGV
Órgão
SME - SP
Ano
2023
Nível
Superior
Cargo
Professor de Ensino Fundamental II e Médio - Matemática
Em certa sequência, os dois primeiros termos são 1 e 2. A partir do terceiro termo (inclusive), cada termo é igual à soma dos dois termos imediatamente anteriores a ele. Seja m a média aritmética dos 8 primeiros termos dessa sequência e seja d o valor absoluto da diferença entre m e o termo da sequência mais próximo de m.O valor de 4d é
  1. A8,5.
  2. B9,5.
  3. C10,5.
  4. D11,5.
  5. E12,5.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoA — 8,5.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a 4d = 8,5 (alternativa A).

A ideia por trás

Esta questão trata de sequências definidas por recorrência, onde cada termo é calculado a partir dos anteriores. A sequência dada é um caso particular da famosa sequência de Fibonacci, que aparece em muitos contextos da matemática e da natureza. A média aritmética de um conjunto de números é a soma de todos eles dividida pela quantidade de números; ela representa um valor central típico do conjunto. Para encontrar o termo mais próximo da média, comparamos as distâncias (em valor absoluto) entre a média e cada termo, escolhendo o de menor distância. Nesta questão, precisamos construir a sequência até o oitavo termo, calcular a média, identificar o termo mais próximo e então calcular 4 vezes a diferença.

O que a questão dá

  • primeiro termo = 1

  • segundo termo = 2

  • regra: cada termo a partir do terceiro é a soma dos dois anteriores

  • número de termos considerados = 8

O que queremos: o valor de 4d, onde d é a distância entre a média dos 8 primeiros termos e o termo mais próximo dessa média

Passo 1 — Construir a sequência até o 8º termo

Para calcular a média dos 8 primeiros termos, precisamos saber quais são esses termos. A regra de formação é dada: cada termo a partir do terceiro é a soma dos dois anteriores. Então, aplicamos essa regra sucessivamente.

Por que esta fórmula: A regra é uma recorrência: a_n = a_{n-1} + a_{n-2} para n ≥ 3. Isso significa que cada novo termo é a soma dos dois que vieram antes dele.

an=an−1+an−2a_n = a_{n-1} + a_{n-2}

De onde vem cada valor: ana_n = termo que queremos calcular · an−1a_{n-1} = termo imediatamente anterior · an−2a_{n-2} = termo dois posições antes

a3=1+2=3,a4=2+3=5,a5=3+5=8,a6=5+8=13,a7=8+13=21,a8=13+21=34=seque^ncia:1,2,3,5,8,13,21,34a_3 = 1 + 2 = 3, a_4 = 2 + 3 = 5, a_5 = 3 + 5 = 8, a_6 = 5 + 8 = 13, a_7 = 8 + 13 = 21, a_8 = 13 + 21 = 34 = \boxed{\text{sequ}ê\text{ncia}: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar os dois termos corretos, por exemplo, usar a_3 = 1+1 = 2 em vez de 1+2 = 3.

Passo 2 — Calcular a soma dos 8 termos

A média aritmética é a soma dividida pela quantidade de termos. Então, primeiro precisamos somar todos os 8 termos que acabamos de obter.

Por que esta fórmula: A soma é simplesmente a adição de todos os termos da sequência. Não há fórmula especial, apenas somamos os números.

S=a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8S = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7 + a_8

De onde vem cada valor: a1a_1 = passo 1: 1 · a2a_2 = passo 1: 2 · a3a_3 = passo 1: 3 · a4a_4 = passo 1: 5 · a5a_5 = passo 1: 8 · a6a_6 = passo 1: 13 · a7a_7 = passo 1: 21 · a8a_8 = passo 1: 34

S=1+2+3+5+8+13+21+34S = 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21 + 34
S=87S = \boxed{87}
NÃO CAIA NESSA!

Errar uma soma simples, como 13+21 = 34 (correto) ou 21+34 = 55 (errado, pois o 8º termo é 34, não 55).

Passo 3 — Calcular a média aritmética

Com a soma total, podemos calcular a média dividindo pela quantidade de termos (8). A média é o valor central que representa o conjunto.

Por que esta fórmula: A média aritmética de um conjunto de números é a soma deles dividida pela quantidade. É a fórmula padrão: m = S/n.

m=Snm = \frac{S}{n}

De onde vem cada valor: SS = passo 2: 87 · nn = enunciado: 8 primeiros termos

m=878m = \frac{87}{8}
m=10,875m = \boxed{10{,}875}
NÃO CAIA NESSA!

Dividir por 7 em vez de 8, ou esquecer de considerar todos os termos.

Passo 4 — Encontrar o termo mais próximo da média

Precisamos comparar a média com os termos da sequência para achar o mais próximo. Os termos em torno de 10,875 são 8 e 13. Calculamos as distâncias e escolhemos a menor.

Por que esta fórmula: A distância entre dois números é o valor absoluto da diferença: |x - y|. O termo mais próximo é o que tem a menor distância até a média.

d1=∣m−8∣,d2=∣m−13∣d_1 = |m - 8|, d_2 = |m - 13|

De onde vem cada valor: mm = passo 3: 10,875 · 88 = passo 1: 5º termo · 1313 = passo 1: 6º termo

d1=∣10,875−8∣=2,875,d2=∣10,875−13∣=2,125d_1 = |10{,}875 - 8| = 2{,}875, d_2 = |10{,}875 - 13| = 2{,}125

d1d_1 = termo mais próximo é 13, com distância 2,125

NÃO CAIA NESSA!

Escolher o termo 8 por engano, pensando que está mais próximo, mas 2,125 < 2,875.

Passo 5 — Calcular 4 vezes a diferença d

A questão pede o valor de 4d, onde d é a distância entre a média e o termo mais próximo. Já temos d = 2,125, então basta multiplicar por 4.

Por que esta fórmula: Multiplicação direta: 4d = 4 × d.

4d=4×d4d = 4 \times d

De onde vem cada valor: dd = passo 4: 2,125

4d=4×2,1254d = 4 \times 2{,}125
4d=8,54d = \boxed{8{,}5}
NÃO CAIA NESSA!

Usar a distância errada (2,875) ou esquecer de multiplicar por 4.

Resposta: 4d = 8,5 (alternativa A)

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