Questão de Matemática — Raciocínio Lógico — FGV 2023

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a 180 g (alternativa A).

A ideia por trás

Este problema trata de grandezas diretamente proporcionais: o peso da água é proporcional ao volume que ela ocupa. Como os copos são idênticos, a capacidade é a mesma, então a água pela metade pesa exatamente metade da água que enche o copo. A unidade é o grama (g), que mede massa (ou peso, no contexto comum).

A relação central é um sistema de duas equações do 1º grau com duas incógnitas: o peso do copo vazio (C) e o peso da água que enche o copo (A). Cada situação do enunciado vira uma equação. Quando uma grandeza dobra (dois copos), a equação reflete isso; quando a água está pela metade, usamos A/2. Resolver o sistema significa encontrar o valor de C que satisfaz as duas condições ao mesmo tempo.

Nesta questão, precisamos traduzir as duas frases em equações e depois isolar C. O ponto-chave é montar corretamente a segunda equação, lembrando que o copo com água pela metade pesa C + A/2, e não C + A.

O que a questão dá

• copo cheio d'água pesa 420 g

• dois copos iguais, um vazio e outro com água pela metade, pesam 480 g

O que queremos: o peso de um copo vazio

Passo 1 — Definir as incógnitas do problema

Para transformar o enunciado em matemática, precisamos dar nomes às quantidades desconhecidas. Aqui há duas: o peso do copo vazio (C) e o peso da água que enche o copo (A). Com elas, conseguimos escrever equações que representam as situações descritas.

Passo 2 — Montar a equação do copo cheio

A primeira informação é que um copo cheio pesa 420 g. O peso total é a soma do copo vazio com a água que o enche. Por isso, essa frase vira a equação C + A = 420.

Por que esta fórmula: É a tradução direta: peso total = peso do copo + peso da água. Não há outra relação aqui.

De onde vem cada valor: $C$ = incógnita definida no passo 1 · $A$ = incógnita definida no passo 1 · $420$ = enunciado: copo cheio pesa 420 g

Passo 3 — Montar a equação dos dois copos

A segunda informação envolve dois copos: um vazio e outro com água pela metade. O copo vazio pesa C; o copo com água pela metade pesa C + A/2, porque a água pela metade pesa metade da água cheia. Somando os dois, temos 2C + A/2 = 480.

Por que esta fórmula: A água pela metade é o ponto-chave: como o peso é proporcional ao volume, metade do volume pesa metade do peso. Então usamos A/2, não A.

De onde vem cada valor: $2C$ = dois copos vazios (um vazio + o copo do outro, que também tem o peso do copo) · $\frac{A}{2}$ = água pela metade: metade do peso da água cheia · $480$ = enunciado: dois copos pesam 480 g

Passo 4 — Isolar A na primeira equação

Para resolver o sistema, precisamos expressar uma incógnita em função da outra. Da equação C + A = 420, subtraímos C dos dois lados, obtendo A = 420 - C. Isso permite substituir A na segunda equação.

Por que esta fórmula: É a manipulação algébrica básica: o que está somando passa subtraindo para o outro lado.

De onde vem cada valor: $420$ = passo 2 · $C$ = incógnita

Passo 5 — Substituir A na segunda equação

Com A = 420 - C, substituímos na equação 2C + A/2 = 480. Isso transforma o sistema em uma equação só com C, que podemos resolver.

Por que esta fórmula: Substituição é o método padrão para resolver sistemas: elimina uma incógnita.

De onde vem cada valor: $2C$ = passo 3 · $\frac{420 - C}{2}$ = passo 4 substituído em A/2 · $480$ = passo 3

Passo 6 — Eliminar a fração multiplicando por 2

A equação tem uma fração com denominador 2. Multiplicar todos os termos por 2 elimina o denominador, facilitando a resolução. Isso é válido porque multiplicar os dois lados por um mesmo número não muda a igualdade.

Por que esta fórmula: Multiplicar por 2 é a operação inversa da divisão por 2, que está na fração.

De onde vem cada valor: $4C$ = 2C × 2 · $420$ = 420 × 2 · $-C$ = -C × 2 · $960$ = 480 × 2

Passo 7 — Simplificar e isolar C

Agora a equação é do 1º grau. Combinamos os termos com C (4C - C = 3C) e subtraímos 420 dos dois lados, obtendo 3C = 540. Depois dividimos por 3 para achar C.

Por que esta fórmula: Isolar a incógnita é o objetivo final: deixar C sozinho de um lado.

De onde vem cada valor: $3C$ = 4C - C · $540$ = 960 - 420 · $3$ = coeficiente de C

Resposta: 180 g (alternativa A)