Questão de Matemática — Raciocínio Lógico — FGV 2023

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 405 números (alternativa B).

A ideia por trás

Um número palíndromo é aquele que se lê igual da esquerda para a direita e vice-versa, como 12321. Para 5 algarismos, ele tem a forma abcba, ou seja, o primeiro e o último são iguais, o segundo e o quarto são iguais, e o central é livre. A condição de ser ímpar depende do último algarismo, que é igual ao primeiro, então o primeiro deve ser ímpar (1, 3, 5, 7, 9) e não pode ser zero, pois o número precisa ter 5 algarismos. A condição de não ter dois algarismos iguais juntos significa que algarismos vizinhos devem ser diferentes; por simetria, basta garantir que a ≠ b e b ≠ c. Nesta questão, precisamos contar as possibilidades para cada posição, respeitando essas restrições, e multiplicar pelo princípio multiplicativo.

O que a questão dá

• número de 5 algarismos

• número é ímpar

• leitura igual nos dois sentidos (palíndromo)

• não há dois algarismos iguais juntos

O que queremos: a quantidade de números que satisfazem as três propriedades

Passo 1 — Reconhecer a forma do palíndromo

Um número de 5 algarismos que se lê igual nos dois sentidos tem a forma abcba: o primeiro algarismo (a) é igual ao último, o segundo (b) é igual ao penúltimo, e o central (c) é livre. Isso reduz o problema a escolher apenas três algarismos, pois os outros dois são determinados por simetria.

Passo 2 — Escolher o primeiro algarismo (a)

O primeiro algarismo define o último, e como o número é ímpar, o último (e portanto o primeiro) deve ser ímpar. Além disso, o primeiro não pode ser zero, pois o número teria apenas 4 algarismos. Então as opções são 1, 3, 5, 7, 9.

Por que esta fórmula: A contagem é direta: são os 5 algarismos ímpares de 1 a 9.

De onde vem cada valor: $a$ = enunciado: número é ímpar e tem 5 algarismos

Passo 3 — Escolher o segundo algarismo (b)

O segundo algarismo é vizinho do primeiro, então para não ter dois iguais juntos, b deve ser diferente de a. Como b pode ser qualquer dígito de 0 a 9, exceto a, temos 10 - 1 = 9 opções.

Por que esta fórmula: A restrição é apenas b ≠ a, então subtraímos 1 do total de 10 dígitos.

De onde vem cada valor: $b$ = passo 2: a já escolhido · $a$ = passo 2

Passo 4 — Escolher o algarismo central (c)

O algarismo central é vizinho do segundo, então para não ter dois iguais juntos, c deve ser diferente de b. Não há restrição em relação a a, pois eles não são vizinhos. Então c pode ser qualquer dígito de 0 a 9, exceto b, dando 9 opções.

Por que esta fórmula: A restrição é apenas c ≠ b, então subtraímos 1 do total de 10 dígitos.

De onde vem cada valor: $c$ = passo 3: b já escolhido · $b$ = passo 3

Passo 5 — Multiplicar as possibilidades

Cada escolha é independente, então o total de números é o produto das opções de cada posição, pelo princípio multiplicativo.

Por que esta fórmula: O princípio multiplicativo diz que se uma escolha tem m opções e outra tem n, o total de combinações é m × n.

De onde vem cada valor: $5$ = passo 2: opções para a · $9$ = passo 4: opções para c

Resposta: 405 números (alternativa B)