Questão de Matemática — Matemática Financeira — FGV 2023
Matemática›Matemática Financeira
Código
fg070066
Banca
FGV
Órgão
SME - SP
Ano
2023
Nível
Superior
Cargo
Professor de Ensino Fundamental II e Médio - Matemática
Januária aplicou R$ 100,00 na poupança no início do ano de 2017 e obteve R$ 108,52 ao final do ano. No mesmo dia em que fez essa aplicação, Januária fez uma dívida no cheque especial de R$ 100,00 e não a pagou no final do ano, por isso passou a dever R$ 237,96. Imagine que os índices de 2017 seguissem iguais até 2019. Então, o crescimento da poupança a cada ano e o crescimento da dívida obedeceriam à mesma proporção durante esses 2 anos seguintes.Tendo em vista que Januária continuou deixando seu dinheiro na poupança e não pagou nada de sua dívida, seu saldo em 2019 (ou seja, a diferença entre o que ela poupou e sua dívida) seria
Apositivo, no valor de R$ 127,79.
Bnegativo, no valor de R$ 325,10.
Cnegativo, no valor de R$ 448,48.
Dnegativo, no valor de R$ 1.219,63.
Ezero.
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GabaritoD — negativo, no valor de R$ 1.219,63.
Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.
Juros compostos e crescimento proporcional
Gabarito: letra D — o saldo em 2019 é negativo, no valor de R$ 1.219,63. A poupança cresce 8,52% ao ano (de R$ 100,00 para R$ 108,52) e a dívida cresce 137,96% ao ano (de R$ 100,00 para R$ 237,96). Aplicando esses fatores por mais dois anos (2018 e 2019), a poupança chega a R$ 127,79 e a dívida a R$ 1.347,42; a diferença é negativa em R$ 1.219,63.
A questão trabalha com juros compostos — o crescimento se dá sobre o montante acumulado, não sobre o valor inicial. A frase "os índices de 2017 seguissem iguais até 2019" indica que as taxas anuais se repetem, e o dinheiro continua aplicado e a dívida continua acumulando, ambos por mais dois anos. O ponto central é perceber que a dívida cresce a uma taxa muito maior que a poupança, então o saldo (poupança − dívida) fica cada vez mais negativo.
Vamos calcular passo a passo.
1. Taxa de crescimento da poupança:
De R$ 100,00 para R$ 108,52 em um ano, o fator de crescimento é:
Ou seja, a poupança cresce 8,52% ao ano.
2. Taxa de crescimento da dívida:
De R$ 100,00 para R$ 237,96 em um ano, o fator de crescimento é:
Ou seja, a dívida cresce 137,96% ao ano.
3. Aplicando por mais dois anos (2018 e 2019):
Como os índices se mantêm, multiplicamos os valores de 2017 pelo fator de crescimento ao quadrado (dois anos).
Poupança em 2019:
Dívida em 2019:
4. Saldo (poupança − dívida):
Portanto, o saldo é negativo em R$ 1.219,63.
Alternativa A — ❌ Incorreta
Afirma que o saldo é positivo em R$ 127,79. Esse valor é exatamente o montante da poupança em 2019, mas a alternativa ignora completamente a dívida, que cresceu muito mais. O candidato que calcula apenas o crescimento da poupança e esquece de subtrair a dívida cai nessa armadilha.
Alternativa B — ❌ Incorreta
Apresenta R$ 325,10 como saldo negativo. Esse número não corresponde a nenhum valor da operação: não é o montante da poupança, nem da dívida, nem a diferença entre eles. Provavelmente é um distrator calculado com alguma operação incorreta, como aplicar a taxa de crescimento apenas uma vez ou usar juros simples.
Alternativa C — ❌ Incorreta
Apresenta R$ 448,48 como saldo negativo. Esse valor também não corresponde a nenhum montante correto. Pode ser resultado de um cálculo que aplica a taxa de crescimento da dívida apenas uma vez (R$ 237,96 × 2,3796 = R$ 566,25, que não bate) ou de outra combinação equivocada. Não há fundamento nos dados do enunciado.
Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO
Como demonstrado, a poupança em 2019 é R$ 127,79 e a dívida é R$ 1.347,42. A diferença é:
O saldo é negativo em R$ 1.219,63, exatamente o valor da alternativa.
Alternativa E — ❌ Incorreta
Afirma que o saldo é zero. Isso só ocorreria se a poupança e a dívida crescessem à mesma taxa, o que não acontece: a dívida cresce 137,96% ao ano, enquanto a poupança cresce apenas 8,52%. Como a dívida cresce muito mais rápido, o saldo é fortemente negativo.
NÃO CAIA NESSA!
A banca explora a confusão entre juros simples e juros compostos. Se o candidato aplicasse as taxas de forma linear (somando os percentuais), obteria valores diferentes e cairia em um distrator. Aqui, o crescimento é composto: a taxa incide sobre o montante acumulado a cada ano. Além disso, é fácil esquecer de subtrair a dívida ou calcular apenas o crescimento da poupança, como na alternativa A. Fique atento: quando o enunciado diz "os índices seguissem iguais", a taxa se repete sobre o valor já corrigido.
PEGA ESSA DICA!
Para resolver questões de crescimento proporcional, identifique primeiro o fator de multiplicação de cada grandeza (valor final ÷ valor inicial). Depois, aplique esse fator pelo número de períodos adicionais usando potência. Monte uma tabela para organizar:
Ano
Poupança
Dívida
2017
R$ 108,52
R$ 237,96
2018
R$ 117,76
R$ 566,25
2019
R$ 127,79
R$ 1.347,42
Perceba como a dívida explode em relação à poupança — isso já indica que o saldo será muito negativo.