Questão de Matemática — Física Matemática — FGV 2023

Perseguição com trajetória ortogonal

Gabarito: letra A — o gavião alcança o pardal em 3 segundos. A chave é perceber que, enquanto o pardal foge perpendicularmente à reta AB, o gavião voa em linha reta na direção do ponto de encontro, formando um triângulo retângulo cujos catetos são a distância inicial (120 m) e o deslocamento do pardal (30t), e cuja hipotenusa é o deslocamento do gavião (50t). Aplicando Pitágoras: $(50t)^2 = 120^2 + (30t)^2$, o que resulta em $t = 3\,\text{s}$.

O que está por trás da questão

Este é um clássico problema de movimento relativo com direções perpendiculares. O gavião não voa diretamente para o ponto B (posição inicial do pardal), mas sim para o ponto onde o pardal estará no instante do encontro. Como o pardal se move numa direção ortogonal à reta AB, a trajetória do gavião, a distância inicial e o deslocamento do pardal formam um triângulo retângulo.

A grande sacada é que o tempo de encontro é o mesmo para ambos: o pardal voa durante $t$ segundos e o gavião também voa durante $t$ segundos. Assim, podemos escrever as distâncias percorridas em função de $t$ e usar o Teorema de Pitágoras para relacioná-las.

Vamos montar a equação passo a passo:

• Distância percorrida pelo gavião: $d_g = 50t$

• Distância percorrida pelo pardal: $d_p = 30t$

• Distância inicial entre eles: $120\,\text{m}$

Como as trajetórias são perpendiculares, vale:

Portanto, o tempo de encontro é de 3 segundos.

Análise das alternativas

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, o tempo é de 3 segundos. A equação $(50t)^2 = 120^2 + (30t)^2$ resolve exatamente o problema, e o resultado $t = 3$ satisfaz as condições do enunciado.

Alternativa B — ❌ Incorreta

4 segundos não satisfaz a equação de Pitágoras. Se $t = 4$, teríamos $50 \times 4 = 200\,\text{m}$ para o gavião e $30 \times 4 = 120\,\text{m}$ para o pardal. Aplicando Pitágoras: $200^2 = 40000$ e $120^2 + 120^2 = 14400 + 14400 = 28800$, que não são iguais. Portanto, não é o tempo correto.

Alternativa C — ❌ Incorreta

5 segundos também não fecha a equação. Com $t = 5$, o gavião percorreria $250\,\text{m}$ e o pardal $150\,\text{m}$. Pitágoras: $250^2 = 62500$ e $120^2 + 150^2 = 14400 + 22500 = 36900$, que não batem. Logo, está errada.

Alternativa D — ❌ Incorreta

6 segundos é o resultado da armadilha de usar a diferença de velocidades (50 − 30 = 20 m/s) e dividir 120 por 20, obtendo 6 s. Mas isso só valeria se ambos estivessem na mesma linha reta, o que não é o caso. Na geometria do problema, com $t = 6$, o gavião percorreria $300\,\text{m}$ e o pardal $180\,\text{m}$; Pitágoras: $300^2 = 90000$ e $120^2 + 180^2 = 14400 + 32400 = 46800$, que não são iguais. Portanto, incorreta.

Alternativa E — ❌ Incorreta

7 segundos também não satisfaz a equação. Com $t = 7$, o gavião percorreria $350\,\text{m}$ e o pardal $210\,\text{m}$; Pitágoras: $350^2 = 122500$ e $120^2 + 210^2 = 14400 + 44100 = 58500$, que não batem. Logo, errada.

Resumo do método

Para problemas de perseguição com trajetórias perpendiculares, monte o triângulo retângulo com:

• Cateto 1: distância inicial entre os móveis.

• Cateto 2: deslocamento do móvel que foge (velocidade × tempo).

• Hipotenusa: deslocamento do perseguidor (velocidade × tempo).

Depois, aplique Pitágoras e resolva para $t$. Esse raciocínio vale para qualquer questão do tipo, não só com aves.

Gabarito: letra A