GabaritoB — 4/3;
Gabarito: letra B — a razão entre a área da circunferência circunscrita (C) e a área da circunferência inscrita (c) é 4/3. Isso porque, num hexágono regular, o raio da circunferência circunscrita é igual ao lado do hexágono (R = L), enquanto o raio da circunferência inscrita é o apótema, que vale L√3/2. Como a área do círculo é πr², a razão entre as áreas é o quadrado da razão entre os raios: (L / (L√3/2))² = (2/√3)² = 4/3.
A questão explora a relação entre um polígono regular e as circunferências que o circunscrevem e o inscrevem. Para um hexágono regular, essa relação é particularmente simples: o hexágono pode ser decomposto em 6 triângulos equiláteros, cujos lados são iguais ao lado do hexágono (L). O raio da circunferência circunscrita (R) é a distância do centro a um vértice, que é exatamente o lado do triângulo equilátero, ou seja, R = L. Já o raio da circunferência inscrita (r) é a distância do centro ao ponto médio de um lado, que é a altura do triângulo equilátero, ou seja, o apótema, que vale L√3/2.
A área de um círculo é dada por A = πr². Portanto, a razão entre as áreas das duas circunferências é:
A pegadinha da banca está em confundir a razão entre os raios com a razão entre as áreas. Se o aluno calcular apenas R/r = 2/√3, pode marcar uma alternativa errada, mas a questão pede a razão entre as áreas, que é o quadrado disso. Além disso, é comum inverter os papéis: a circunferência circunscrita tem o maior raio, logo sua área é maior, e a razão deve ser maior que 1.
O valor 4 seria obtido se a razão entre os raios fosse 2, o que não ocorre. Isso aconteceria se o raio da circunferência inscrita fosse L/2, mas o apótema do hexágono regular é L√3/2, não L/2. Portanto, a razão entre as áreas é 4/3, não 4.
Como demonstrado, a razão entre as áreas é (R/r)² = (2/√3)² = 4/3. O raio da circunferência circunscrita é o lado do hexágono (L), e o raio da inscrita é o apótema (L√3/2). A razão entre os raios é 2/√3, e ao elevar ao quadrado obtemos 4/3.
O valor 3 seria obtido se a razão entre os raios fosse √3, o que não ocorre. Isso aconteceria se o raio da circunferência inscrita fosse L/√3, mas o apótema do hexágono regular é L√3/2. Portanto, a razão entre as áreas é 4/3, não 3.
O valor 5/4 é um distrator sem relação direta com as propriedades do hexágono regular. Não há nenhuma razão geométrica que leve a esse valor. A razão correta é 4/3.
O valor 2 seria obtido se a razão entre os raios fosse √2, o que não ocorre. Isso aconteceria se o apótema fosse L/√2, mas o apótema do hexágono regular é L√3/2. Portanto, a razão entre as áreas é 4/3, não 2.
A banca explora a confusão entre razão de comprimentos e razão de áreas. O aluno calcula R/r = 2/√3 e, sem elevar ao quadrado, procura esse valor nas alternativas — mas ele não está lá. Lembre-se: para áreas, a razão é o quadrado da razão dos comprimentos. Além disso, é fácil inverter os papéis das circunferências: a circunscrita tem o maior raio, então a razão deve ser maior que 1. Com esse raciocínio, você elimina as alternativas A, C, D e E de imediato.
Para polígonos regulares, decore as relações entre o lado (L), o raio da circunferência circunscrita (R) e o raio da circunferência inscrita (r, que é o apótema). Para o hexágono, R = L e r = L√3/2. Para o triângulo equilátero, R = L/√3 e r = L√3/6. Para o quadrado, R = L√2/2 e r = L/2. Essas relações são cobradas com frequência e resolvem rapidamente questões de razão entre áreas.
Gabarito: letra B
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