Questão de Matemática — Álgebra — FGV 2023

Sistemas de equações lineares: preço de quentinhas

Gabarito: letra C — o custo da quentinha com um ovo, uma porção de arroz e uma de feijão é R$ 1,30. A resolução usa um sistema linear com três incógnitas (ovo, arroz, feijão) e a sacada é que a combinação pedida é exatamente a diferença entre as duas quentinhas dadas: a primeira (2 ovos + 1 arroz + 1 feijão) menos a segunda (1 ovo + 2 arroz + 2 feijão) resulta em 1 ovo − 1 arroz − 1 feijão, o que não é o que queremos. O caminho é montar as equações e resolver por substituição ou combinação linear.

Vamos chamar de $o$ o preço de um ovo, $a$ o preço de uma porção de arroz e $f$ o preço de uma porção de feijão. O enunciado nos dá duas equações:

1. $2o + a + f = 2{,}10$

2. $o + 2a + 2f = 1{,}80$

Queremos $o + a + f$. Observe que a primeira equação já contém $a + f$ somado a $2o$. Se conseguirmos isolar $a + f$ em função de $o$, podemos substituir na segunda. Da primeira equação:

$a + f = 2{,}10 - 2o$

Substituindo na segunda:

$o + 2(2{,}10 - 2o) = 1{,}80$

$o + 4{,}20 - 4o = 1{,}80$

$-3o = 1{,}80 - 4{,}20 = -2{,}40$

$o = 0{,}80$

Agora, com $o = 0{,}80$, voltamos à primeira equação:

$2(0{,}80) + a + f = 2{,}10$

$1{,}60 + a + f = 2{,}10$

$a + f = 0{,}50$

Portanto, o custo pedido é:

$o + a + f = 0{,}80 + 0{,}50 = 1{,}30$

A alternativa correta é a letra C.

Alternativa A — ❌ Incorreta

R$ 1,10. Esse valor seria obtido se o aluno, por engano, subtraísse a segunda equação da primeira: $(2o + a + f) - (o + 2a + 2f) = o - a - f = 0{,}30$, e depois somasse algo incorretamente. Não corresponde a nenhuma combinação válida das equações.

Alternativa B — ❌ Incorreta

R$ 1,20. Esse número não surge de nenhuma operação correta com os dados. Pode ser uma tentativa de média entre os dois preços dados ($(2{,}10 + 1{,}80)/2 = 1{,}95$), o que já não bate, ou um erro de cálculo na substituição.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, o preço do ovo é R$ 0,80 e a soma arroz + feijão é R$ 0,50, totalizando R$ 1,30. A conta fecha perfeitamente com as duas equações do enunciado.

Alternativa D — ❌ Incorreta

R$ 1,40. Esse valor seria o resultado se o aluno somasse os dois preços dados e dividisse por 3, obtendo $1{,}30$, mas aqui está R$ 0,10 acima. Provavelmente um erro de aritmética ou uma confusão com a quantidade de itens.

Alternativa E — ❌ Incorreta

R$ 1,50. Esse valor é o preço médio das duas quentinhas ($(2{,}10 + 1{,}80)/2 = 1{,}95$) menos R$ 0,45, sem fundamento. Não há combinação linear das equações que resulte nesse número.

Gabarito: letra C