GabaritoE — 20.
Gabarito: letra E — cada lado lateral mede 20. A chave está em decompor o trapézio isósceles em um retângulo central e dois triângulos retângulos congruentes nas laterais: a diferença entre as bases (40 − 20 = 20) é dividida igualmente entre os dois triângulos, cada um com cateto horizontal de 10. Como um dos ângulos internos vale 120°, o ângulo agudo do triângulo retângulo vale 60°, e o triângulo formado é um 30°-60°-90° — nele, o cateto adjacente ao ângulo de 60° (10) é a metade da hipotenusa, que é exatamente o lado lateral procurado: 20.
Um trapézio isósceles tem os lados não paralelos (laterais) congruentes e os ângulos das bases congruentes. A propriedade que resolve a questão é a simetria: ao traçar as alturas a partir dos vértices da base menor, o trapézio fica dividido em um retângulo central e dois triângulos retângulos idênticos. A base maior (40) é formada pela base menor (20) mais duas projeções iguais (x) dos lados laterais sobre a base maior. Assim:
Cada triângulo retângulo tem cateto horizontal de 10 e altura h (desconhecida). O ângulo interno de 120° do trapézio é o ângulo obtuso, localizado na base maior. Como os ângulos de um mesmo lado (entre a base e o lado lateral) são suplementares (somam 180°), o ângulo agudo do triângulo retângulo é:
Assim, o triângulo retângulo tem ângulos de 30°, 60° e 90°. No triângulo 30°-60°-90°, o cateto adjacente ao ângulo de 60° (que mede 10) é igual à metade da hipotenusa. Portanto, a hipotenusa — que é o lado lateral do trapézio — mede:
12 não corresponde a nenhuma relação direta com os dados. Se o aluno tentasse usar o ângulo de 120° como ângulo do triângulo retângulo (erro comum), poderia chegar a um valor como 12, mas isso não tem fundamento geométrico. O correto é identificar o ângulo agudo de 60° e aplicar a proporção do triângulo 30°-60°-90°.
14 também não é resultado de nenhuma operação correta. Talvez venha de uma tentativa de usar a fórmula da área ou de uma divisão incorreta da diferença das bases. Nada nos dados leva a 14.
16 poderia surgir de um erro ao considerar o cateto horizontal como 8 (em vez de 10) ou ao usar o seno/cosseno de forma equivocada. Mas a projeção correta é 10, e o lado lateral é o dobro dela: 20.
18 é um distrator numérico sem base. Não há relação entre os dados (bases 40 e 20, ângulo 120°) que produza 18. O aluno que erra a identificação do triângulo 30°-60°-90° pode chutar valores intermediários, mas o cálculo correto é exato: 20.
Como demonstrado, a projeção do lado lateral sobre a base maior é 10, e o triângulo retângulo formado tem ângulos de 30°, 60° e 90°. Nesse triângulo, o cateto adjacente ao ângulo de 60° é a metade da hipotenusa. Logo, a hipotenusa (lado lateral) é 20. A alternativa E está correta.
A banca explora a confusão entre o ângulo de 120° (ângulo obtuso do trapézio) e o ângulo do triângulo retângulo. O aluno pode tentar usar 120° diretamente no triângulo, mas o triângulo retângulo tem o ângulo agudo de 60° (suplementar). Identificar corretamente o triângulo 30°-60°-90° é o passo decisivo — e a proporção 1:√3:2 resolve tudo.
Em trapézios isósceles, sempre trace as alturas e use a simetria. A diferença entre as bases dividida por 2 dá a projeção do lado lateral. Depois, use os ângulos para identificar o triângulo retângulo notável (30°-60°-90° ou 45°-45°-90°) e aplique as proporções conhecidas. Treine esse tipo de decomposição — é o padrão mais cobrado em questões de trapézio.
Gabarito: letra E
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