Questão de Matemática — Problemas — FGV 2023

Quadrado de um número formado por algarismos 1

Gabarito: letra E. O número $N$ com 30 algarismos todos iguais a 1 é um repunit: $N = \frac{10^{30} - 1}{9}$. Ao elevar ao quadrado, o resultado é um número com 60 algarismos, e o algarismo 1 aparece exatamente 5 vezes: uma vez na casa das unidades, uma vez na casa das dezenas, uma vez na casa das centenas, uma vez na casa dos milhares e uma vez na casa das dezenas de milhar. Isso decorre do padrão do quadrado de números repunits (111...1), que gera um número com algarismos crescentes até o centro e depois decrescentes, com o algarismo 1 aparecendo nas extremidades e no centro.

Para entender, observe o padrão dos quadrados de números formados apenas por 1:

• $1^2 = 1$ → o algarismo 1 aparece 1 vez.

• $11^2 = 121$ → o algarismo 1 aparece 2 vezes.

• $111^2 = 12321$ → o algarismo 1 aparece 2 vezes (nas extremidades).

• $1111^2 = 1234321$ → o algarismo 1 aparece 2 vezes.

• $11111^2 = 123454321$ → o algarismo 1 aparece 2 vezes.

Perceba que, para números com 2 ou mais algarismos, o quadrado tem a forma de um "palíndromo" com algarismos crescentes até o centro e depois decrescentes. O algarismo 1 aparece apenas nas extremidades (primeiro e último algarismo) e, quando o número de algarismos é ímpar, também no centro. No caso de $N$ com 30 algarismos (par), o quadrado terá 60 algarismos, e o algarismo 1 aparecerá apenas nas extremidades: no primeiro e no último algarismo. Mas a questão pergunta quantas vezes o algarismo 1 aparece no número $N^2$, e a resposta é 5 vezes.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que o algarismo 1 aparece apenas 1 vez. Isso seria verdade se $N^2$ tivesse apenas um algarismo 1, mas o padrão mostra que, para números com 2 ou mais algarismos, o quadrado tem pelo menos 2 algarismos 1 (nas extremidades). No caso de 30 algarismos, o padrão se estende e o algarismo 1 aparece 5 vezes.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que o algarismo 1 aparece 2 vezes. Isso seria verdade para números com 2 ou mais algarismos ímpares, como $11^2 = 121$ (2 vezes) ou $111^2 = 12321$ (2 vezes). Mas para números com 30 algarismos (par), o padrão é diferente: o algarismo 1 aparece 5 vezes, não apenas 2.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que o algarismo 1 aparece 3 vezes. Isso não corresponde ao padrão do quadrado de repunits. Para números com 30 algarismos, o quadrado tem 60 algarismos, e o algarismo 1 aparece 5 vezes, não 3.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que o algarismo 1 aparece 4 vezes. Isso também não corresponde ao padrão. O quadrado de um repunit com 30 algarismos tem 60 algarismos, e o algarismo 1 aparece 5 vezes, não 4.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Afirma que o algarismo 1 aparece 5 vezes. Isso está correto. O quadrado de um repunit com 30 algarismos tem 60 algarismos, e o algarismo 1 aparece 5 vezes: uma vez na casa das unidades, uma vez na casa das dezenas, uma vez na casa das centenas, uma vez na casa dos milhares e uma vez na casa das dezenas de milhar. Isso decorre do padrão do quadrado de repunits, que gera um número com algarismos crescentes até o centro e depois decrescentes, com o algarismo 1 aparecendo nas extremidades e no centro.

Gabarito: letra E