Questão de Matemática — Probabilidade — FGV 2023

Probabilidade: o temor de Rita

Gabarito: letra D — a probabilidade é 24/625. O temor de Rita se concretiza quando as quatro pessoas escolhem, cada uma, um andar diferente entre o 1º e o 4º, e a ordem em que isso ocorre importa (cada pessoa é distinta). O total de possibilidades é $5^4 = 625$ (cada pessoa pode escolher qualquer um dos 5 andares), e os casos favoráveis são as permutações de 4 andares distintos escolhidos entre 4 disponíveis: $4! = 24$. Assim, $P = \frac{24}{625}$.

A questão trabalha com a definição clássica de probabilidade: a razão entre o número de casos favoráveis e o número de casos possíveis, quando todos os resultados são igualmente prováveis. Aqui, cada uma das quatro pessoas tem 5 opções de andar (do 1º ao 5º), e as escolhas são independentes — o que uma pessoa escolhe não afeta a escolha das outras. Por isso, o total de combinações possíveis é dado pelo princípio multiplicativo: $5 \times 5 \times 5 \times 5 = 625$.

O evento que Rita teme é que as quatro pessoas escolham, respectivamente, os andares 1, 2, 3 e 4 — um andar diferente para cada pessoa. Como as pessoas são distintas (são quatro pessoas diferentes), a ordem importa: a pessoa A pode ir ao 1º, a pessoa B ao 2º, etc., mas também pode ser a pessoa A no 2º, a B no 1º, e assim por diante. O número de maneiras de distribuir os 4 andares entre as 4 pessoas é uma permutação simples: $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$.

A pegadinha clássica aqui é esquecer que as pessoas são distintas e tratar o problema como se a ordem não importasse, o que levaria a uma combinação $C_{4,4} = 1$ e a uma probabilidade de $\frac{1}{625}$ — que não está entre as alternativas. Outra armadilha é confundir o total de casos possíveis: como o prédio tem 5 andares e há 4 pessoas, cada uma pode escolher qualquer andar, inclusive o 5º (que é o andar de Rita, mas nada impede que outra pessoa também vá para lá). O total $5^4$ considera todas essas possibilidades.

Alternativa A — ❌ Incorreta

$\frac{4}{64}$ não corresponde a nenhum cálculo coerente com o problema. O denominador 64 sugere $4^3$ ou $2^6$, mas o total de casos possíveis é $5^4 = 625$, não 64. O numerador 4 também não reflete os casos favoráveis, que são 24.

Alternativa B — ❌ Incorreta

$\frac{4}{625}$ tem o denominador correto (625), mas o numerador está errado. 4 seria o número de casos favoráveis se apenas uma pessoa específica fosse a um andar específico (por exemplo, a pessoa A no 1º andar), mas o evento pedido envolve as quatro pessoas indo a andares distintos. O número correto de casos favoráveis é $4! = 24$.

Alternativa C — ❌ Incorreta

$\frac{5}{64}$ mistura o 5 (número de andares) com o 64 (que não é o total de casos). O total de casos possíveis é $5^4 = 625$, e não 64. O numerador 5 também não tem relação com os casos favoráveis, que são 24.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

$\frac{24}{625}$ é exatamente a razão entre os casos favoráveis e os casos possíveis. Os casos possíveis são $5^4 = 625$ (cada uma das 4 pessoas escolhe um dos 5 andares). Os casos favoráveis são as permutações dos 4 andares (1º, 2º, 3º e 4º) entre as 4 pessoas: $4! = 24$. Portanto, $P = \frac{24}{625}$.

Alternativa E — ❌ Incorreta

$\frac{25}{64}$ não corresponde ao cálculo. O denominador 64 não é o total de casos (que é 625), e o numerador 25 não é o número de casos favoráveis (que é 24). O 25 poderia lembrar $5^2$, mas não se aplica aqui.

Gabarito: letra D