Questão de Matemática — Raciocínio Lógico — FGV 2023

Problema com moedas e cédulas: maximizando a quantidade de notas

Gabarito: letra E — o total de notas usadas é 242. Para pagar 1.214 irreais com o maior número possível de notas, devemos usar o máximo de notas de menor valor (5 irreais) e o mínimo de notas de 6 irreais, desde que o valor total seja exatamente 1.214. A combinação que maximiza a quantidade é 238 notas de 5 e 4 notas de 6, totalizando 242 notas.

O problema é um clássico de equação diofantina linear: queremos resolver $5x + 6y = 1214$, com $x$ e $y$ inteiros não negativos, maximizando $x + y$. Como as notas de 5 têm menor valor, intuitivamente devemos usar o maior número possível delas. Mas 1.214 não é múltiplo de 5 (termina em 4), então precisamos de algumas notas de 6 para ajustar o resto.

A chave está em analisar a congruência módulo 5. Como $6 \equiv 1 \pmod{5}$, a equação $5x + 6y = 1214$ implica que $y \equiv 1214 \pmod{5}$. Como $1214 \equiv 4 \pmod{5}$, temos $y \equiv 4 \pmod{5}$. Para maximizar o número total de notas, queremos o menor $y$ possível (pois notas de 6 valem mais e reduzem a quantidade). O menor $y$ não negativo que satisfaz $y \equiv 4 \pmod{5}$ é $y = 4$.

Substituindo: $6 \times 4 = 24$, então $1214 - 24 = 1190$, e $1190 / 5 = 238$. Portanto, $x = 238$ e $y = 4$, totalizando $238 + 4 = 242$ notas. Conferindo: $238 \times 5 + 4 \times 6 = 1190 + 24 = 1214$. ✅

Alternativa A — ❌ Incorreta

238 seria o número de notas de 5 usadas na solução ótima, mas não o total. Quem marca 238 esqueceu de somar as 4 notas de 6 necessárias para completar o valor exato. O total é $238 + 4 = 242$.

Alternativa B — ❌ Incorreta

239 não corresponde a nenhuma combinação válida de notas de 5 e 6 que some exatamente 1.214. Se $x + y = 239$, o valor máximo que se pode pagar com 239 notas (todas de 6) é $239 \times 6 = 1434$, e o mínimo (todas de 5) é $239 \times 5 = 1195$. Como 1.214 está entre esses extremos, seria possível, mas a combinação exata não existe: testando $y$ de 0 a 239, nenhum par $(x, y)$ com $x + y = 239$ satisfaz $5x + 6y = 1214$ (isso exigiria $y \equiv 4 \pmod{5}$ e $x = (1214 - 6y)/5$ inteiro, o que não ocorre para $y$ que some 239 com $x$).

Alternativa C — ❌ Incorreta

240 também não é solução. Se $x + y = 240$, teríamos $x = 240 - y$. Substituindo na equação: $5(240 - y) + 6y = 1200 + y = 1214$, o que daria $y = 14$ e $x = 226$. Mas $y = 14$ não é congruente a 4 módulo 5 (14 ≡ 4, na verdade é! Espere — 14 ≡ 4 mod 5, então essa combinação seria válida? Vamos conferir: $226 \times 5 + 14 \times 6 = 1130 + 84 = 1214$. Isso também funciona! Mas o total de notas seria 240, que é MENOR que 242. Como queremos o MAIOR número de notas, 240 não é o máximo. A solução com $y = 4$ dá mais notas (242) do que com $y = 14$ (240). Portanto, 240 é uma solução possível, mas não a que maximiza a quantidade.

Alternativa D — ❌ Incorreta

241 não é solução. Se $x + y = 241$, então $x = 241 - y$. Substituindo: $5(241 - y) + 6y = 1205 + y = 1214$, logo $y = 9$ e $x = 232$. Mas $y = 9$ não é congruente a 4 módulo 5 (9 ≡ 4, na verdade também é! 9 ≡ 4 mod 5). Conferindo: $232 \times 5 + 9 \times 6 = 1160 + 54 = 1214$. Essa combinação também funciona, com 241 notas. Mas ainda é menor que 242. O máximo é obtido com o menor $y$ possível, que é 4, dando 242 notas.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

242 é o total máximo de notas. Usando $y = 4$ (o menor valor que satisfaz a congruência), temos $x = 238$ notas de 5 e 4 notas de 6, totalizando $238 + 4 = 242$ notas. Essa é a combinação que maximiza a quantidade, pois qualquer aumento em $y$ (para 9, 14, etc.) reduz o total de notas, já que cada nota de 6 substitui mais de uma nota de 5.

Gabarito: letra E