GabaritoA — 68 cm;
Gabarito: letra A (68 cm). O sapo e o grilo aterrissam juntos pela primeira vez na distância que é o mínimo múltiplo comum (MMC) dos comprimentos dos saltos: MMC(8,5 ; 13,6) = 68 cm. Como os saltos são dados em centímetros com uma casa decimal, o caminho mais seguro é converter para décimos de centímetro (85 e 136) e calcular o MMC dos inteiros, depois voltar à unidade original.
A questão é uma aplicação clássica de MMC: dois móveis partem do mesmo ponto, cada um com um "passo" fixo, e se pergunta quando voltam a se encontrar. O instante do encontro é o menor múltiplo comum dos passos. Aqui, os passos são 8,5 cm e 13,6 cm. Para evitar trabalhar com decimais, multiplicamos ambos por 10: 85 e 136. O MMC de 85 e 136 é 680 (décimos de centímetro), que equivale a 68 cm. Vamos verificar: 68 ÷ 8,5 = 8 saltos do sapo; 68 ÷ 13,6 = 5 saltos do grilo. Ou seja, o sapo dá 8 saltos e o grilo dá 5 saltos, e ambos caem exatamente no mesmo ponto, a 68 cm da partida. Nenhuma distância menor é múltiplo comum dos dois comprimentos, então essa é a primeira vez.
A pegadinha da banca está em oferecer alternativas que são múltiplos de um dos saltos, mas não do outro (85 é múltiplo de 8,5, mas não de 13,6; 136 é múltiplo de 13,6, mas não de 8,5). O candidato que calcula apenas o MMC mentalmente ou que testa os múltiplos de um só número cai nesses distratores. A técnica segura é sempre converter para inteiros e fatorar.
Critério | Sapo (8,5 cm) | Grilo (13,6 cm) | Encontro (MMC) |
|---|---|---|---|
Conversão p/ inteiros (×10) | 85 | 136 | 680 (décimos de cm) |
Fatoração | 5 × 17 | 2³ × 17 | 2³ × 5 × 17 = 680 |
Distância real (÷10) | — | — | 68 cm |
Nº de saltos até o 1º encontro | 68 ÷ 8,5 = 8 | 68 ÷ 13,6 = 5 | — |
Múltiplos comuns (ex.: 136 cm) | 8,5 × 16 = 136 | 13,6 × 10 = 136 | 2º encontro (não é o 1º) |
68 cm é o MMC de 8,5 e 13,6. Confirmando: 68 ÷ 8,5 = 8 (saltos do sapo) e 68 ÷ 13,6 = 5 (saltos do grilo). Como 8 e 5 são inteiros, ambos aterrissam exatamente nesse ponto. E como 68 é o menor número com essa propriedade, é a primeira vez que isso ocorre.
85 cm é múltiplo de 8,5 (85 ÷ 8,5 = 10), mas não é múltiplo de 13,6 (85 ÷ 13,6 ≈ 6,25). Portanto, o grilo não aterrissa nesse ponto. O número 85 é o MMC de 8,5 e 17, por exemplo, mas não serve aqui.
110 cm não é múltiplo de 8,5 (110 ÷ 8,5 ≈ 12,94) nem de 13,6 (110 ÷ 13,6 ≈ 8,09). É um distrator puro, sem relação com os saltos.
136 cm é múltiplo de 13,6 (136 ÷ 13,6 = 10), mas não é múltiplo de 8,5 (136 ÷ 8,5 = 16, exato? 8,5 × 16 = 136, sim! Na verdade, 136 é múltiplo de 8,5 também: 8,5 × 16 = 136. Então 136 é múltiplo comum, mas não é o mínimo — 68 é menor. A pegadinha aqui é que 136 é o dobro de 68, então o sapo e o grilo também se encontram em 136 cm, mas não é a primeira vez. A questão pede "pela primeira vez", então 136 está incorreto.
154 cm não é múltiplo de 8,5 (154 ÷ 8,5 ≈ 18,12) nem de 13,6 (154 ÷ 13,6 ≈ 11,32). É outro distrator sem fundamento.
A banca explora a pressa: o candidato vê 136 (múltiplo de 13,6) e 85 (múltiplo de 8,5) e pode marcar um deles sem verificar se é múltiplo do outro. A palavra "primeira vez" é o gatilho: exige o mínimo múltiplo comum, não qualquer múltiplo comum. Sempre converta decimais para inteiros (multiplicando por 10, 100 etc.) antes de calcular o MMC — isso evita erros de fatoração.
Para problemas de encontro com passos diferentes, o MMC é a ferramenta. Se os números têm casas decimais, multiplique todos por uma potência de 10 para torná-los inteiros, calcule o MMC e depois divida pela mesma potência. Ex.: 8,5 e 13,6 → 85 e 136 → MMC = 680 → 680 ÷ 10 = 68 cm. Treine com outros exemplos: dois ciclistas com voltas de 2,5 km e 3,75 km — MMC(2,5; 3,75) = 7,5 km.
Gabarito: letra A
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