Questão de Matemática — Álgebra — FGV 2023

Soma das raízes de uma equação polinomial

Gabarito: letra A — a soma das raízes da equação $x^6 - 4x^4 + x^2 - 4 = 0$ é 0. Isso decorre diretamente das relações de Girard: em um polinômio $a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$, a soma de todas as raízes (contadas com multiplicidade) é $-a_{n-1}/a_n$. Aqui, o coeficiente de $x^5$ é zero, logo a soma é $0/1 = 0$.

A questão parece uma equação biquadrada (pois só aparecem expoentes pares), e o candidato pode ser tentado a fazer a substituição $y = x^2$, resolver a equação do 2º grau em $y$ e somar as raízes de $y$. Mas o que se pede é a soma das raízes em $x$, não em $y$. Vamos entender por que a resposta é 0 e por que os distratores aparecem.

O que são as relações de Girard?

Para um polinômio de grau $n$:

com $a_n \neq 0$, as relações de Girard estabelecem que a soma das $n$ raízes (complexas, contadas com multiplicidade) é:

No polinômio dado, $x^6 - 4x^4 + x^2 - 4$, o termo de grau 5 não existe, ou seja, $a_5 = 0$. Portanto:

Isso vale mesmo que as raízes sejam complexas — e aqui elas são: as raízes de $y = x^2$ são $y = 4$ e $y = -1$, então $x = \pm 2$ e $x = \pm i$. A soma $2 + (-2) + i + (-i) = 0$.

Por que a substituição $y = x^2$ pode confundir?

Se você fizer $y = x^2$, a equação vira $y^3 - 4y^2 + y - 4 = 0$, que tem raízes $y = 4$, $y = 1$ e $y = -1$ (verifique: $4^3 - 4\cdot 4^2 + 4 - 4 = 0$, $1^3 - 4\cdot 1^2 + 1 - 4 = -6$, na verdade $y=1$ não é raiz; as raízes de $y^3 - 4y^2 + y - 4 = 0$ são $y=4$ e as raízes de $y^2 + 1 = 0$, ou seja, $y = \pm i$). A soma das raízes em $y$ seria $4 + i + (-i) = 4$, que é um dos distratores (letra D). Mas a pergunta é sobre as raízes em $x$, não em $y$. Cada $y$ positivo gera duas raízes reais em $x$ ($\pm \sqrt{y}$), e cada $y$ negativo gera duas raízes imaginárias ($\pm i\sqrt{|y|}$). A soma de cada par é zero, então a soma total é zero.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A soma das raízes é 0. Pela relação de Girard, a soma é $-a_5/a_6 = -0/1 = 0$. Mesmo resolvendo explicitamente, as raízes são $2, -2, i, -i$ (e também as raízes de $x^2 = -1$, que são $\pm i$), e a soma de cada par oposto é zero. Portanto, a alternativa A está correta.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que a soma é 1. Esse valor não corresponde a nenhuma relação direta do polinômio. Se o candidato fizer a substituição $y = x^2$ e somar as raízes de $y$ (que são $4, i, -i$), obtém 4, não 1. Também não é a soma dos coeficientes nem qualquer outra relação simples. Está incorreta.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que a soma é 2. Esse valor poderia surgir se o candidato somasse apenas as raízes reais positivas ($2 + 2 = 4$?) ou se confundisse com a soma das raízes da equação biquadrada em $y$ (que é 4). Nenhuma interpretação correta leva a 2. Está incorreta.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que a soma é 3. Esse valor não tem relação com o polinômio. Se o candidato somar as raízes de $y$ (4, $i$, $-i$) obtém 4, não 3. Se tentar usar a relação de Girard para o polinômio em $y$, a soma seria 4 (pois o coeficiente de $y^2$ é -4, então a soma é 4). 3 não é um resultado possível. Está incorreta.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que a soma é 4. Esse é o valor da soma das raízes da equação em $y$ (após a substituição $y = x^2$), mas a questão pede a soma das raízes em $x$. A pegadinha clássica é exatamente essa: o candidato resolve a equação biquadrada, soma as raízes de $y$ e marca 4, esquecendo que cada $y$ corresponde a duas raízes em $x$ com sinais opostos, cuja soma é zero. Portanto, está incorreta.

Gabarito: letra A