Matemática Financeira · FGV · 2023 | Questão sqc-fg070441

Taxas equivalentes em juros compostos

Gabarito: letra E — a taxa de 1,00% ao mês equivale a 6,15% ao semestre e 12,68% ao ano, no regime de capitalização composta. A equivalência é calculada pela fórmula $(1 + i_m)^{n} - 1$ , onde $n$ é o número de meses no período (6 para o semestre, 12 para o ano).

A questão cobra o conceito de taxas equivalentes no regime de juros compostos. Duas taxas são equivalentes quando, aplicadas a um mesmo capital inicial, pelo mesmo prazo, produzem o mesmo montante. No regime composto, a equivalência é exponencial: não basta multiplicar a taxa mensal por 6 ou por 12 (isso seria a taxa proporcional, usada apenas em juros simples). É preciso capitalizar a taxa pelo número de períodos.

A fórmula geral para encontrar a taxa equivalente é:

(1 + i_{maior}) = (1 + i_{menor})^{n}

onde $n$ é o número de períodos menores contidos no período maior. Assim, para converter a taxa mensal de 1% ao mês em semestral, usamos $n = 6$ ; para a anual, $n = 12$ .

Caso	Taxa mensal (i_m)	Período (n)	Cálculo da taxa equivalente	Taxa equivalente	Resultado
Semestre	1,00% a.m.	6 meses	(1,01)^6 − 1	6,15% a.s.	Correto
Ano	1,00% a.m.	12 meses	(1,01)^12 − 1	12,68% a.a.	Correto
Proporcional semestre	1,00% a.m.	6 meses	1% × 6	6,00% a.s.	Incorreto (juros simples)
Proporcional ano	1,00% a.m.	12 meses	1% × 12	12,00% a.a.	Incorreto (juros simples)

Alternativa A — ❌ Incorreta

Apresenta 5,95% ao semestre e 11,82% ao ano. Esses valores não correspondem a nenhuma taxa equivalente correta. O candidato que marcasse esta opção provavelmente tentou uma aproximação linear ou usou uma capitalização incorreta. O valor correto para o semestre é 6,15% e para o ano é 12,68%.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Apresenta 6,00% ao semestre e 12,00% ao ano. Esses são exatamente os valores da taxa proporcional (1% × 6 = 6% e 1% × 12 = 12%), que é o cálculo usado em juros simples. A banca coloca essa alternativa para confundir o candidato que não percebe que, em juros compostos, a equivalência é exponencial, não linear.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Apresenta 6,00% ao semestre e 12,68% ao ano. O valor anual está correto (12,68%), mas o semestral está errado (6,00% é a taxa proporcional, não a equivalente). O candidato que marcasse esta opção acertou o cálculo anual, mas errou o semestral, provavelmente por ter usado a proporcionalidade no semestre.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Apresenta 6,15% ao semestre e 12,00% ao ano. O valor semestral está correto (6,15%), mas o anual está errado (12,00% é a taxa proporcional). O candidato que marcasse esta opção acertou o cálculo semestral, mas errou o anual, provavelmente por ter usado a proporcionalidade no ano.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Apresenta 6,15% ao semestre e 12,68% ao ano, que são exatamente as taxas equivalentes corretas. Vejamos o cálculo:

Taxa semestral:

i_{sem} = (1 + 0,01)^6 - 1 = (1,01)^6 - 1

(1,01)^6 = 1,061520...

i_{sem} = 1,061520 - 1 = 0,061520 \approx 6,15\%

Taxa anual:

i_{ano} = (1 + 0,01)^{12} - 1 = (1,01)^{12} - 1

(1,01)^{12} = 1,126825...

i_{ano} = 1,126825 - 1 = 0,126825 \approx 12,68\%

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão clássica entre taxa proporcional e taxa equivalente. Em juros simples, a taxa proporcional é obtida pela simples divisão/multiplicação (1% a.m. × 6 = 6% a.s.; 1% a.m. × 12 = 12% a.a.). Em juros compostos, a taxa equivalente é obtida pela capitalização exponencial: $(1,01)^6 - 1 = 6,15\%$ e $(1,01)^{12} - 1 = 12,68\%$ . As alternativas B, C e D misturam esses conceitos, colocando um valor proporcional e um equivalente, ou ambos proporcionais. Fique atento: sempre que o regime for composto, use a exponenciação.

PEGA ESSA DICA!

Para não errar, lembre-se da fórmula geral de equivalência de taxas: $(1 + i_a)^{n_a} = (1 + i_b)^{n_b}$ , onde $i$ é a taxa e $n$ é o número de períodos. Na hora da prova, identifique o regime (simples ou composto) e aplique a fórmula correta. Em juros compostos, a taxa equivalente é sempre maior que a taxa proporcional, pois a capitalização exponencial potencializa o crescimento.

Gabarito: letra E