Matemática Financeira · FGV · 2023 | Questão sqc-fg070442

Regimes de Capitalização: Simples × Composto em Períodos Fracionários

Gabarito: letra B. Para um prazo menor que um mês (10 dias), a capitalização simples gera um montante maior que a composta, pois $(1+i \cdot n) > (1+i)^n$ quando $0 < n < 1$ . Logo, o produto X (juros simples) rende mais que o produto Y (juros compostos) nesse período.

A banca testa um detalhe essencial: em prazos fracionários (menores que um período inteiro), o regime simples é mais rentável que o composto. Isso porque, no simples, os juros crescem linearmente com o tempo, enquanto no composto o crescimento exponencial é atenuado para $n<1$ .

NÃO CAIA NESSA!

Acreditar que juros compostos sempre rendem mais. Para $n<1$ , a função $(1+i)^n$ é côncava e fica abaixo da reta $(1+i\cdot n)$ . Assim, o simples supera o composto em frações de período. Exemplos comuns: 1 dia, 10 dias, 15 dias.

Cálculo Rápido

Adotando mês comercial (30 dias): $n = \frac{10}{30} = \frac{1}{3}$ .

Simples: $FV = C \cdot (1 + 0,02 \cdot \frac{1}{3}) = C \cdot 1,0066667$
Composto: $FV = C \cdot (1,02)^{1/3} \approx C \cdot 1,006623$

Diferença: $C \cdot 0,0000437$ — pequena, mas suficiente para maximizar o ganho.

Caso	Atribuição (n = 10/30)	Resultado
Produto X (simples)	FV = C·(1 + 0,02·1/3) ≈ C·1,0066667	Maior montante
Produto Y (composto)	FV = C·(1,02)^(1/3) ≈ C·1,006623	Menor montante
Conclusão	(1 + i·n) > (1 + i)^n para 0 < n < 1	X rende mais que Y

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que o produto X rende menos e é mais seguro. O erro está em dizer que rende menos: como demonstrado, X rende mais que Y nesse prazo. A segurança não é o fator determinante, mas sim a rentabilidade.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

"X, pois rende mais" — exato. Para período de 10 dias, o regime simples proporciona maior montante.

Alternativa C — ❌ Incorreta

"Ambos apresentam a mesma rentabilidade" — falso. As rentabilidades diferem, ainda que por uma margem pequena, e a empresa busca maximizar ganhos.

Alternativa D — ❌ Incorreta

"Y, pois rende mais" — é o oposto do que ocorre. Y rende menos que X nesse prazo.

Alternativa E — ❌ Incorreta

"Y, pois apesar de render menos, é mais seguro" — além de Y render menos (logo não atende ao objetivo de maximização), a segurança não é o critério; a empresa quer maximizar ganhos.

NÃO CAIA NESSA!

Em questões que comparam regimes de capitalização para prazos inferiores a um período inteiro, lembre-se: simples rende mais. Para prazos superiores a um período, a ordem se inverte (composto rende mais). Grave essa relação para não cair na pegadinha.

Fecho: A questão exige apenas a comparação correta dos montantes para $n<1$ . Com a fórmula e a lógica, fica claro que a escolha ótima é o produto X.

Gabarito: letra B.