Questão de Matemática Financeira — Conceitos fundamentais de Matemática Financeira — FGV 2023

Perpetuidade Crescente (Gradiente Geométrico Infinito)

Gabarito: letra D. O capital necessário (valor presente) de uma renda perpétua que cresce a uma taxa constante é calculado por $VP = \frac{PMT}{i - g}$, em que $PMT$ é o primeiro pagamento, $i$ a taxa de juros e $g$ a taxa de crescimento. Aplicando $PMT = 12.000$, $i = 0,015$ e $g = 0,005$, obtém-se $VP = \frac{12.000}{0,015 - 0,005} = \frac{12.000}{0,01} = 1.200.000$. Portanto, Joana precisa acumular R$ 1.200.000,00.

A banca testa o conhecimento da fórmula de perpetuidade crescente, que é uma extensão da perpetuidade constante. O erro típico é usar apenas a taxa de juros no denominador (i) sem subtrair o crescimento, o que levaria a R$ 800.000,00.

Alternativa A — ❌ Incorreta

R$ 200.000,00. Esse valor é muito baixo e não corresponde a nenhum cálculo direto com os dados fornecidos; provavelmente resulta de um erro de interpretação (ex.: usar taxa de juros nominal sem considerar o crescimento).

Alternativa B — ❌ Incorreta

R$ 600.000,00. Também não se ajusta à fórmula correta; poderia vir de $12.000/0,02 = 600.000$, mas a taxa líquida é 0,01, não 0,02.

Alternativa C — ❌ Incorreta

R$ 800.000,00. Esse é o resultado se o crescimento não fosse considerado: $12.000 / 0,015 = 800.000$. É o distrator mais comum, pois o aluno desconsidera que a renda cresce e aplica a fórmula de perpetuidade constante.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado: $VP = 1.200.000$.

Alternativa E — ❌ Incorreta

R$ 2.000.000,00. Resultado de $12.000 / 0,006 = 2.000.000$, que usaria uma taxa líquida de 0,6% — valor não fornecido.

Gabarito: letra D.