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Questão de Matemática Financeira — Conceitos fundamentais de Matemática Financeira — FGV 2023

Matemática FinanceiraConceitos fundamentais de Matemática Financeira
Código
fg070507
Banca
FGV
Órgão
SMF-RJ
Ano
2023
Nível
Superior
Cargo
Fiscal de Rendas
Sônia atrasou por 50 dias o pagamento de uma conta no valor de R$ 1.000,00. Ela verificou que pagaria 0,2 % de juros diários de multa, mas não sabia se os juros eram compostos ou simples.Usando a aproximação (1+x)n ≅ 1+nx+n(n-1)x²/2, ela concluiu que a diferença entre juros compostos e juros simples corresponderia a um valor situado entre:
  1. AR$ 3,00 e R$ 3,50;
  2. BR$ 3,50 e R$ 4,00;
  3. CR$ 4,00 e R$ 4,50;
  4. DR$ 4,50 e R$ 5,00;
  5. ER$ 5,00 e R$ 5,50.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — R$ 4,50 e R$ 5,00;

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Juros Simples e Compostos – Diferença com Aproximação

Gabarito: letra D. A diferença entre os juros compostos e simples, calculada com a aproximação binomial fornecida, é de aproximadamente R$ 4,90, valor que se situa entre R$ 4,50 e R$ 5,00.

Resolução passo a passo

  • Dados: Capital (C) = R$ 1.000,00; taxa (i) = 0,2% ao dia = 0,002; prazo (n) = 50 dias.

Juros Simples

Js=C×i×n=1000×0,002×50=1000×0,1=R$100,00J_s = C \times i \times n = 1000 \times 0,002 \times 50 = 1000 \times 0,1 = R\$ 100,00

Juros Compostos (valor exato)

Mc=C×(1+i)n=1000×(1,002)50M_c = C \times (1+i)^n = 1000 \times (1,002)^{50}

Aproximação fornecida

(1+x)n≈1+nx+n(n−1)2x2(1+x)^n \approx 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2}x^2

Substituindo x = 0,002 e n = 50:

  • nx=50×0,002=0,1nx = 50 \times 0,002 = 0,1

  • n(n−1)2x2=50×492×(0,002)2=24502×0,000004=1225×0,000004=0,0049\frac{n(n-1)}{2}x^2 = \frac{50 \times 49}{2} \times (0,002)^2 = \frac{2450}{2} \times 0,000004 = 1225 \times 0,000004 = 0,0049 (ou diretamente: 2450×0,000004/2=0,00492450 \times 0,000004 / 2 = 0,0049)

Portanto:

(1,002)50≈1+0,1+0,0049=1,1049(1,002)^{50} \approx 1 + 0,1 + 0,0049 = 1,1049
Mc≈1000×1,1049=R$1.104,90M_c \approx 1000 \times 1,1049 = R\$ 1.104,90
Jc≈R$1.104,90−R$1.000,00=R$104,90J_c \approx R\$ 1.104,90 - R\$ 1.000,00 = R\$ 104,90

Diferença (juros compostos – juros simples)

Δ=Jc−Js≈104,90−100,00=R$4,90\Delta = J_c - J_s \approx 104,90 - 100,00 = R\$ 4,90

Análise das alternativas

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que a diferença está entre R$ 3,00 e R$ 3,50. O valor calculado (R$ 4,90) está acima desse intervalo.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que a diferença está entre R$ 3,50 e R$ 4,00. O valor R$ 4,90 ultrapassa o limite superior.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que a diferença está entre R$ 4,00 e R$ 4,50. R$ 4,90 é maior que R$ 4,50.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Afirma que a diferença está entre R$ 4,50 e R$ 5,00. O valor de R$ 4,90 se enquadra perfeitamente nesse intervalo.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que a diferença está entre R$ 5,00 e R$ 5,50. R$ 4,90 está abaixo de R$ 5,00.

PEGA ESSA DICA!

A aproximação binomial de segunda ordem é suficiente para estimar a diferença. Em provas, lembre-se de que a expansão $ (1+x)^n \approx 1+nx+\frac{n(n-1)}{2}x^2 $ é válida para xx pequeno. Para maior precisão, poderiam ser usados mais termos, mas a questão já fornece a fórmula.

Gabarito: letra D.

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