Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — FGV 2023

Conjuntos numéricos: contagem de frações

Gabarito: letra B — o conjunto B possui 510 elementos. A chave é perceber que cada número racional $q = m/n$ (com $m,n$ inteiros positivos, $n<15$ e $0<q\le 10$) pode ser representado por infinitas frações equivalentes (ex.: $1/2 = 2/4 = 3/6 = \dots$), então não podemos simplesmente contar todos os pares $(m,n)$ — precisamos contar apenas as frações irredutíveis e depois multiplicar pelo número de representações equivalentes que ainda satisfazem $n<15$.

A ideia por trás

O conjunto $\mathbb{Q}$ dos números racionais é formado por todas as frações $p/q$ com $p\in\mathbb{Z}$ e $q\in\mathbb{Z}^*$ (denominador não nulo). Aqui, restringimos $m,n$ a inteiros positivos, $n<15$ e o valor da fração entre 0 e 10 (exclusive 0, inclusive 10).

O ponto crucial é que um mesmo número racional tem infinitas representações fracionárias. Por exemplo, $1/2$, $2/4$, $3/6$, $4/8$, $5/10$, $6/12$, $7/14$ são todas representações do mesmo número $0,5$. Se contássemos cada par $(m,n)$ como um elemento distinto, contaríamos o mesmo número várias vezes — o que estaria errado, pois $B$ é um conjunto de números, e conjuntos não têm elementos repetidos.

Portanto, a estratégia correta é:

1. Para cada denominador $n$ de 1 a 14, considerar as frações $m/n$ com $m$ inteiro positivo e $m/n \le 10$, ou seja, $m \le 10n$.

2. Dentre essas, contar apenas as frações irredutíveis (aquelas em que $\gcd(m,n)=1$), pois cada número racional tem uma única representação irredutível com denominador positivo.

3. O total de elementos de $B$ será a soma, para cada $n$, do número de $m$ tais que $1 \le m \le 10n$ e $\gcd(m,n)=1$.

Vamos calcular:

• Para $n=1$: $m$ de 1 a 10, todos com $\gcd(m,1)=1$ → 10 números.

• Para $n=2$: $m$ de 1 a 20, mas devemos excluir os pares (pois $\gcd(m,2)>1$). Os pares de 1 a 20 são 10, então ficam 10 números.

• Para $n=3$: $m$ de 1 a 30, excluir múltiplos de 3 (10 números) → 20 números.

• Para $n=4$: $m$ de 1 a 40, excluir múltiplos de 2 (20 números) → 20 números.

• Para $n=5$: $m$ de 1 a 50, excluir múltiplos de 5 (10 números) → 40 números.

• Para $n=6$: $m$ de 1 a 60, excluir múltiplos de 2 (30) e de 3 (20), mas somar múltiplos de 6 (10) → 60 − 30 − 20 + 10 = 20 números.

• Para $n=7$: $m$ de 1 a 70, excluir múltiplos de 7 (10) → 60 números.

• Para $n=8$: $m$ de 1 a 80, excluir múltiplos de 2 (40) → 40 números.

• Para $n=9$: $m$ de 1 a 90, excluir múltiplos de 3 (30) → 60 números.

• Para $n=10$: $m$ de 1 a 100, excluir múltiplos de 2 (50) e de 5 (20), somar múltiplos de 10 (10) → 100 − 50 − 20 + 10 = 40 números.

• Para $n=11$: $m$ de 1 a 110, excluir múltiplos de 11 (10) → 100 números.

• Para $n=12$: $m$ de 1 a 120, excluir múltiplos de 2 (60), de 3 (40), de 4 (30), mas somar múltiplos de 6 (20), de 4? Vamos usar a função totiente: $\varphi(12)=4$, então o número de $m$ com $\gcd(m,12)=1$ em um bloco de 12 é 4. Como 120 = 10×12, temos 10×4 = 40 números.

• Para $n=13$: $m$ de 1 a 130, excluir múltiplos de 13 (10) → 120 números.

• Para $n=14$: $m$ de 1 a 140, excluir múltiplos de 2 (70) e de 7 (20), somar múltiplos de 14 (10) → 140 − 70 − 20 + 10 = 60 números.

Somando: 10 + 10 + 20 + 20 + 40 + 20 + 60 + 40 + 60 + 40 + 100 + 40 + 120 + 60 = 510.

Portanto, o número de elementos de $B$ é 510, o que corresponde à letra B.

Alternativa A — ❌ Incorreta

500 é um valor próximo, mas não corresponde à contagem correta. Provavelmente o candidato que erra por falta de cuidado com as frações equivalentes ou com a condição $m \le 10n$ chega a um número menor. Não há nenhuma regra que justifique 500.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, a soma das quantidades de frações irredutíveis para cada denominador de 1 a 14 resulta em 510. É exatamente o valor que a banca pede.

Alternativa C — ❌ Incorreta

520 é um valor acima do correto. Pode surgir se o candidato contar todas as frações equivalentes como distintas (contando todos os pares $(m,n)$ sem reduzir), o que daria um número muito maior, ou se errar em algum cálculo de exclusão de múltiplos.

Alternativa D — ❌ Incorreta

530 também é um valor incorreto. Não há justificativa matemática para esse número; provavelmente é um distrator para quem erra a contagem de algum denominador específico.

Alternativa E — ❌ Incorreta

540 é outro valor incorreto. Se o candidato contar todos os pares $(m,n)$ com $1 \le m \le 10n$ e $1 \le n \le 14$ sem excluir as frações redutíveis, obteria um número muito maior (na casa dos milhares), então 540 não corresponde a nenhum erro comum específico.

Gabarito: letra B