Matemática · FGV · 2023 | Questão sqc-fg070513

Conjuntos: interseção tripla

Gabarito: letra D — o total dos que fazem os três esportes é 3. Aplicando o princípio da inclusão-exclusão para três conjuntos, a soma dos que praticam cada esporte (somando os exclusivos e as interseções) menos as interseções duas a duas, mais a interseção tripla, deve resultar no total de 50 pessoas.

Vamos entender o problema. Temos três conjuntos: F (futebol), V (vôlei) e S (surfe). O enunciado informa quantas pessoas estão em cada região do diagrama de Venn, mas não diretamente o total de cada esporte. Precisamos montar a equação da união dos três conjuntos.

A fórmula geral para a união de três conjuntos é:

n(F \cup V \cup S) = n(F) + n(V) + n(S) - n(F \cap V) - n(F \cap S) - n(V \cap S) + n(F \cap V \cap S)

Mas aqui não temos os totais individuais $n(F)$ , $n(V)$ e $n(S)$ diretamente. Temos:

Só surfistas: 12
Só futebol: 2
Só vôlei: 10
Futebol e surfe (incluindo quem também faz vôlei): 9
Futebol e vôlei (incluindo quem também faz surfe): 12
Vôlei e surfe (incluindo quem também faz futebol): 11

Vamos chamar de $x$ o número de pessoas que praticam os três esportes. Assim, podemos decompor as interseções:

$n(F \cap S) = 9$ → apenas futebol e surfe (sem vôlei) = $9 - x$
$n(F \cap V) = 12$ → apenas futebol e vôlei (sem surfe) = $12 - x$
$n(V \cap S) = 11$ → apenas vôlei e surfe (sem futebol) = $11 - x$

Agora, somamos todas as regiões do diagrama (que devem totalizar 50):

\text{só F} + \text{só V} + \text{só S} + (F \cap V \text{ apenas}) + (F \cap S \text{ apenas}) + (V \cap S \text{ apenas}) + (F \cap V \cap S) = 50

Substituindo:

2 + 10 + 12 + (12 - x) + (9 - x) + (11 - x) + x = 50

Somando os números: $2 + 10 + 12 + 12 + 9 + 11 = 56$ . Então:

56 - 3x + x = 50

56 - 2x = 50

2x = 6

x = 3

Portanto, 3 pessoas praticam os três esportes.

Praticantes de esportes — só Futebol: 2; só Vôlei: 10; só Surfe: 12; Futebol∩Vôlei: 9; Futebol∩Surfe: 12; Vôlei∩Surfe: 11; Futebol∩Vôlei∩Surfe: 3

Alternativa A — ❌ Incorreta

6 seria o resultado se você esquecesse de subtrair a interseção tripla uma vez a mais. Veja: se você somasse apenas as interseções duplas (9 + 12 + 11 = 32) e os exclusivos (2 + 10 + 12 = 24), teria 56, e para chegar a 50 precisaria subtrair 6. Mas isso está errado, porque as interseções duplas incluem quem faz os três esportes, e ao subtrair 6 você estaria removendo duas vezes a interseção tripla. O correto é subtrair apenas uma vez, resultando em 3.

Alternativa B — ❌ Incorreta

5 é um valor que não corresponde a nenhuma combinação direta dos dados. Se você tentasse resolver por tentativa, poderia chegar a 5 se cometesse um erro de sinal na equação, mas a conta correta leva a 3.

Alternativa C — ❌ Incorreta

4 é um distrator comum. Se você aplicasse a fórmula da união diretamente com os totais errados (por exemplo, somando os exclusivos e as interseções sem descontar corretamente), poderia chegar a 4. Mas a resolução correta, como mostrada, dá 3.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

3 é exatamente o valor de $x$ que satisfaz a equação da união. A resolução passo a passo confirma: $56 - 2x = 50 \Rightarrow x = 3$ .

Alternativa E — ❌ Incorreta

2 seria o resultado se você subtraísse 4 em vez de 6 na equação, ou se cometesse um erro de conta. Mas o valor correto é 3.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre as interseções duplas (que incluem quem faz os três esportes) e as regiões de "apenas dois esportes". Muitos candidatos somam 9 + 12 + 11 = 32 e subtraem isso do total, esquecendo de adicionar a interseção tripla. O segredo é sempre decompor cada interseção dupla em "apenas dois" + "os três".

PEGA ESSA DICA!

Em problemas de conjuntos com três categorias, monte o diagrama de Venn e preencha as regiões de dentro para fora: comece pela interseção tripla (chame de $x$ ), depois as interseções duplas (subtraindo $x$ ), e por fim os exclusivos. A soma de todas as regiões é o total. Esse método evita erros e é mais rápido que decorar a fórmula.

Gabarito: letra D