Questão de Matemática — Áreas e Perímetros — FGV 2023

Quadrado inscrito e circunscrito a uma circunferência

Gabarito: letra E (razão 2). Seja $r$ o raio da circunferência. O quadrado inscrito tem diagonal igual ao diâmetro ($2r$), logo seu lado é $r\sqrt{2}$ e sua área é $2r^2$. O quadrado circunscrito tem lado igual ao diâmetro ($2r$), logo sua área é $4r^2$. A razão entre as áreas é $\frac{4r^2}{2r^2} = 2$.

A questão explora a relação entre um círculo e os quadrados que o contêm ou são contidos por ele. O ponto central é identificar qual medida do quadrado coincide com o diâmetro da circunferência em cada caso.

• Quadrado inscrito: todos os vértices tocam a circunferência. A diagonal do quadrado é o diâmetro da circunferência. Se o raio é $r$, o diâmetro é $2r$. Pela relação entre diagonal e lado do quadrado ($d = l\sqrt{2}$), temos $l = \frac{2r}{\sqrt{2}} = r\sqrt{2}$. A área é $l^2 = (r\sqrt{2})^2 = 2r^2$.

• Quadrado circunscrito: a circunferência tangencia os quatro lados. O lado do quadrado é exatamente o diâmetro da circunferência, ou seja, $2r$. A área é $(2r)^2 = 4r^2$.

A razão pedida é $\frac{A_Q}{A_q} = \frac{4r^2}{2r^2} = 2$.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor 4 seria obtido se a razão entre os lados fosse 2 (pois $2^2 = 4$), mas a razão entre os lados é $\frac{2r}{r\sqrt{2}} = \sqrt{2}$, e a razão entre as áreas é o quadrado disso, ou seja, 2. O número 4 não corresponde a nenhuma relação direta entre as áreas.

Alternativa B — ❌ Incorreta

$\frac{4}{3}$ não tem relação com as áreas calculadas. Pode surgir de uma confusão com a razão entre o diâmetro e o lado do quadrado inscrito ($\frac{2r}{r\sqrt{2}} = \sqrt{2} \approx 1,41$), que não é $\frac{4}{3}$.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O valor 3 não corresponde a nenhuma razão entre as áreas. Talvez o aluno some as áreas ($2r^2 + 4r^2 = 6r^2$) e divida por $2r^2$, obtendo 3, mas a razão pedida é entre as áreas, não entre a soma e uma delas.

Alternativa D — ❌ Incorreta

$\frac{5}{4}$ não tem relação com as áreas. Pode ser um distrator numérico sem fundamento geométrico.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, a área do quadrado circunscrito é $4r^2$ e a do inscrito é $2r^2$, logo a razão é $\frac{4r^2}{2r^2} = 2$.

Gabarito: letra E