Estatística · FGV · 2023 | Questão sqc-fg070580

Distribuição Normal: padronização e comparação de probabilidades

Gabarito: letra A. A igualdade P{X₁<3,6}=P{X₂<1,8} é verdadeira porque, ao padronizar ambas as variáveis, obtém-se o mesmo valor de Z: para X₁, Z=(3,6−2)/4=0,4; para X₂, Z=(1,8−1)/2=0,4. Como a distribuição normal padrão é única, probabilidades associadas ao mesmo Z são iguais. As demais alternativas ou invertem os valores ou usam complementos indevidos.

A questão explora a padronização (ou normalização) de uma variável normal. Toda variável X ~ N(μ, σ) pode ser transformada em uma normal padrão Z ~ N(0,1) pela fórmula:

Z = \frac{X - \mu}{\sigma}

Essa transformação preserva as probabilidades: P{X < x} = P{Z < z}, onde z é o valor padronizado. A tabela da normal padrão fornece Φ(z) = P{Z < z}, e como a função de distribuição acumulada é crescente, valores iguais de z correspondem a probabilidades iguais.

A pegadinha da banca está em misturar os valores de X e os parâmetros de cada distribuição. O candidato apressado pode comparar diretamente os números 3,6 e 1,8, sem perceber que eles estão em escalas diferentes (médias e desvios distintos). A padronização é o único caminho correto.

Vamos calcular os Z para cada alternativa:

Para X₁: μ₁=2, σ₁=4. Para X₂: μ₂=1, σ₂=2.
Z₁(x) = (x−2)/4; Z₂(x) = (x−1)/2.

Agora, analisemos cada alternativa.

Alternativa	Z₁ (X₁)	Z₂ (X₂)	Comparação	Resultado
A	(3,6−2)/4 = 0,4	(1,8−1)/2 = 0,4	Φ(0,4) = Φ(0,4)	✅ Correta
B	(3,6−2)/4 = 0,4	(1,8−1)/2 = 0,4	Φ(0,4) = 1 − Φ(0,4)	❌ Incorreta
C	(1,8−2)/4 = −0,05	(3,6−1)/2 = 1,3	Φ(−0,05) ≠ Φ(1,3)	❌ Incorreta
D	(1,8−2)/4 = −0,05	(3,6−1)/2 = 1,3	Φ(−0,05) ≠ 1 − Φ(1,3)	❌ Incorreta
E	(−1,8−2)/4 = −0,95	(−3,6−1)/2 = −2,3	Φ(−0,95) ≠ Φ(−2,3)	❌ Incorreta

X₁ (μ=2, σ=4)

X₂ (μ=1, σ=2)

Valor 1,8

Z = 0,4

Z = 1,3

Valor 3,6

Z = −0,05

Z = 0,4

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Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

P{X₁<3,6} = P{Z₁ < (3,6−2)/4} = P{Z < 0,4}.

P{X₂<1,8} = P{Z₂ < (1,8−1)/2} = P{Z < 0,4}.

Ambas as probabilidades são Φ(0,4), logo são iguais. A igualdade é verdadeira.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que P{X₁<3,6} = 1 − P{X₂<1,8}. Como vimos, P{X₁<3,6} = Φ(0,4) e P{X₂<1,8} = Φ(0,4). Então a expressão seria Φ(0,4) = 1 − Φ(0,4), o que só valeria se Φ(0,4)=0,5, o que não é o caso (Φ(0,4)≈0,6554). O erro está em usar o complemento sem necessidade: o complemento 1−Φ(z) corresponde a P{Z>z}, não a uma igualdade com outra probabilidade do mesmo valor.

Alternativa C — ❌ Incorreta

P{X₁<1,8} = P{Z₁ < (1,8−2)/4} = P{Z < −0,05}.

P{X₂<3,6} = P{Z₂ < (3,6−1)/2} = P{Z < 1,3}.

Os Z são diferentes (−0,05 e 1,3), logo as probabilidades não são iguais. A alternativa troca os valores de X entre as variáveis, mas sem a devida padronização.

Alternativa D — ❌ Incorreta

P{X₁<1,8} = P{Z < −0,05} (como acima).

1 − P{X₂<3,6} = 1 − P{Z < 1,3} = P{Z > 1,3}.

Esses valores não são iguais. Novamente, o complemento é usado indevidamente.

Alternativa E — ❌ Incorreta

P{X₁<−1,8} = P{Z₁ < (−1,8−2)/4} = P{Z < −0,95}.

P{X₂<−3,6} = P{Z₂ < (−3,6−1)/2} = P{Z < −2,3}.

Os Z são −0,95 e −2,3, diferentes. A alternativa usa valores negativos, mas não os padroniza corretamente.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a comparação direta dos valores de X sem padronização. Por exemplo, na alternativa C, 1,8 parece "menor" que 3,6, mas ao padronizar, Z₁=−0,05 e Z₂=1,3, mostrando que a relação se inverte. Sempre padronize antes de comparar probabilidades de normais diferentes.

NÃO CAIA NESSA!

Na prova, ao ver duas normais com médias e desvios diferentes, o primeiro passo é calcular os Z de cada valor. Se os Z forem iguais, as probabilidades são iguais; se forem diferentes, compare os Z (maior Z ⇒ maior probabilidade acumulada). Memorize a fórmula Z=(X−μ)/σ e pratique com questões da FGV, que adora esse tipo de pegadinha.

Gabarito: letra A