Estatística · FGV · 2023 | Questão sqc-fg070581

Passeio aleatório e valor esperado

Gabarito: letra E. O valor esperado da posição após três saltos é 4/3. A chave é usar a propriedade de linearidade da esperança: em vez de calcular a distribuição completa de X₃, calculamos a esperança do incremento de cada salto e somamos. Como a probabilidade de subir depende da distância atual, o incremento esperado em cada passo é zero, mas a posição esperada não é zero — o que exige cuidado com a interpretação.

O problema descreve um passeio aleatório com probabilidades dependentes da posição. A partícula começa na origem (posição 0). A cada salto, se está na posição $d$ (distância da origem), sobe com probabilidade $\frac{1}{d+1}$ e desce com probabilidade $\frac{d}{d+1}$ . O incremento $Y$ de um salto é $+1$ (subir) ou $-1$ (descer). O valor esperado do incremento, dado que a partícula está na posição $d$ , é:

E[Y \mid d] = (+1)\cdot \frac{1}{d+1} + (-1)\cdot \frac{d}{d+1} = \frac{1-d}{d+1}

Esse incremento esperado é zero apenas quando $d = 1$ . Para $d = 0$ , o incremento esperado é $+1$ ; para $d > 1$ , é negativo. Portanto, a posição esperada não evolui de forma trivial — precisamos calcular passo a passo.

Passo a passo do cálculo

Salto 1: A partícula está em $d = 0$ . O incremento esperado é:

E[Y_1] = \frac{1-0}{0+1} = 1

Logo, $E[X_1] = 0 + 1 = 1$ .

Salto 2: A partícula está em $d = 1$ (em média). O incremento esperado é:

E[Y_2 \mid d=1] = \frac{1-1}{1+1} = 0

Portanto, $E[X_2] = E[X_1] + 0 = 1$ .

Salto 3: A partícula está em $d = 1$ (em média). O incremento esperado é novamente:

E[Y_3 \mid d=1] = 0

Assim, $E[X_3] = E[X_2] + 0 = 1$ .

Esse raciocínio parece levar a $E[X_3] = 1$ , mas está incorreto! O erro está em usar a posição esperada para calcular o incremento esperado. A esperança condicional $E[Y \mid d]$ é uma função não linear de $d$ , e $E[Y] = E[E[Y \mid d]] \neq E[Y \mid E[d]]$ . Precisamos calcular a distribuição de probabilidade de cada posição.

Cálculo correto via distribuição

Vamos enumerar todas as trajetórias possíveis de 3 saltos e suas probabilidades.

Salto 1:

De 0, sobe para 1 com prob. $\frac{1}{1} = 1$ (pois $d=0$ ).
Desce para -1 com prob. $\frac{0}{1} = 0$ .

Portanto, após 1 salto, a partícula está sempre em $X_1 = 1$ .

Salto 2:

De $d=1$ : sobe para 2 com prob. $\frac{1}{2}$ , desce para 0 com prob. $\frac{1}{2}$ .

Assim, após 2 saltos:

$X_2 = 2$ com prob. $\frac{1}{2}$
$X_2 = 0$ com prob. $\frac{1}{2}$

Salto 3:

Se $X_2 = 2$ (prob. $\frac{1}{2}$ ): de $d=2$ , sobe para 3 com prob. $\frac{1}{3}$ , desce para 1 com prob. $\frac{2}{3}$ .
Se $X_2 = 0$ (prob. $\frac{1}{2}$ ): de $d=0$ , sobe para 1 com prob. $\frac{1}{1} = 1$ (desce para -1 com prob. 0).

Combinando:

$X_3 = 3$ : prob. $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$
$X_3 = 1$ : prob. $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} + \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{5}{6}$
$X_3 = -1$ : prob. 0

Agora calculamos a esperança:

E[X_3] = 3 \cdot \frac{1}{6} + 1 \cdot \frac{5}{6} + (-1) \cdot 0 = \frac{3}{6} + \frac{5}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}

Portanto, E(X₃) = 4/3, confirmando a alternativa E.

Caso	Atribuição (posição após 2º salto)	Probabilidade do caso	Resultado (posição após 3º salto)
1	X₂ = 2	1/2	Sobe para 3 (prob. 1/3) ou desce para 1 (prob. 2/3)
2	X₂ = 0	1/2	Sobe para 1 (prob. 1) ou desce para -1 (prob. 0)

Passeio aleatório (prob. dependente da posição): Erro comum (Usar E[Y|E[d]] no lugar de E[E[Y|d]], Linearidade ingênua da esperança); Método correto (Enumerar trajetórias, Calcular probabilidades passo a passo, E[X] = Σ x·P(X=x)); Resultado (X₃ = 3 com prob. 1/6, X₃ = 1 com prob. 5/6, E[X₃] = 4/3)

Alternativa A — ❌ Incorreta

2 seria o valor esperado se a partícula subisse com probabilidade 1 em todos os saltos, o que não ocorre. Esse número não corresponde a nenhuma etapa do cálculo correto.

Alternativa B — ❌ Incorreta

1 é a posição esperada após o primeiro salto (e também após o segundo, se usarmos o raciocínio ingênuo). É um distrator clássico: quem calcula $E[X_1] = 1$ e supõe que os saltos seguintes têm incremento esperado zero (porque $d=1$ ) chega a 1, mas ignora que a distribuição de $X_2$ tem metade da massa em $d=2$ , onde o incremento esperado é negativo, e metade em $d=0$ , onde o incremento é positivo — o que não se anula simetricamente.

Alternativa C — ❌ Incorreta

2/3 é a probabilidade de descer quando $d=2$ (no terceiro salto, se a partícula estiver em 2). Não é um valor esperado de posição. A banca troca uma probabilidade condicional por uma esperança.

Alternativa D — ❌ Incorreta

5/4 é um valor próximo, mas não exato. Pode surgir de um erro de aritmética no cálculo da esperança (por exemplo, somar $3 \cdot \frac{1}{6} + 1 \cdot \frac{5}{6}$ e errar a fração). Não corresponde a nenhuma grandeza do problema.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

4/3 é exatamente o resultado do cálculo correto: $E[X_3] = 3 \cdot \frac{1}{6} + 1 \cdot \frac{5}{6} = \frac{4}{3}$ . A alternativa espelha a soma ponderada das posições possíveis pelas suas probabilidades.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a tentação de usar a linearidade da esperança de forma ingênua: calcular $E[X_1] = 1$ e depois supor que os incrementos seguintes têm média zero porque a posição esperada é 1. Mas a esperança do incremento é uma função não linear da posição, e $E[Y] = E[E[Y|d]] \neq E[Y|E[d]]$ . A única forma segura é enumerar as trajetórias e suas probabilidades. Com treino, você identifica quando a linearidade vale (soma de incrementos independentes) e quando não vale (probabilidades dependentes da posição). 💪

PEGA ESSA DICA!

Em problemas de passeio aleatório com probabilidades dependentes da posição, sempre construa a árvore de probabilidades passo a passo. Anote as posições possíveis e suas probabilidades após cada salto. Só então calcule a esperança pela definição $E[X] = \sum x \cdot P(X=x)$ . Isso evita o erro de usar a posição esperada como se fosse a posição real.

Gabarito: letra E