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Questão de Matemática — Álgebra Linear — FGV 2023

MatemáticaÁlgebra Linear
Código
fg071087
Banca
FGV
Órgão
TCE-BA
Ano
2023
Nível
Superior
Cargo
Auditor Estadual de Controle Externo
Considere o ponto P(4, 1) do plano cartesiano.Dos pontos abaixo, o mais distante do ponto P é:
  1. A(5, 2);
  2. B(2, 2);
  3. C(6, –1);
  4. D(1, 0);
  5. E(7, 1).
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — (1, 0);

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Distância entre dois pontos no plano cartesiano

Gabarito: letra D. O ponto mais distante de P(4, 1) é (1, 0), pois a distância entre eles é 10\sqrt{10}, enquanto as demais alternativas apresentam distâncias menores (a maior delas é 13\sqrt{13}, da letra C). A distância é calculada pela fórmula da distância euclidiana entre dois pontos: d=(x2−x1)2+(y2−y1)2d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}.

A distância entre dois pontos no plano cartesiano é o comprimento do segmento de reta que os une, obtido pelo Teorema de Pitágoras: as diferenças das coordenadas formam os catetos de um triângulo retângulo, e a distância é a hipotenusa. Para cada alternativa, calculamos:

  • A) (5, 2): d=(5−4)2+(2−1)2=1+1=2≈1,41d = \sqrt{(5-4)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} \approx 1,41

  • B) (2, 2): d=(2−4)2+(2−1)2=4+1=5≈2,24d = \sqrt{(2-4)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \approx 2,24

  • C) (6, –1): d=(6−4)2+(−1−1)2=4+4=8=22≈2,83d = \sqrt{(6-4)^2 + (-1-1)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \approx 2,83

  • D) (1, 0): d=(1−4)2+(0−1)2=9+1=10≈3,16d = \sqrt{(1-4)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10} \approx 3,16

  • E) (7, 1): d=(7−4)2+(1−1)2=9+0=9=3d = \sqrt{(7-4)^2 + (1-1)^2} = \sqrt{9 + 0} = \sqrt{9} = 3

Comparando os valores, 10≈3,16\sqrt{10} \approx 3,16 é o maior. Portanto, a alternativa D é a correta.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O ponto (5, 2) está a uma distância de 2\sqrt{2} de P, que é a menor entre todas as opções. A banca coloca esse ponto próximo para testar se o candidato confunde "mais distante" com "mais próximo" ou se calcula apenas a diferença de uma coordenada.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O ponto (2, 2) está a 5\sqrt{5} de distância. Embora tenha a mesma coordenada y que P, a diferença em x é 2, resultando em uma distância moderada, mas não a maior.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O ponto (6, –1) está a 22≈2,832\sqrt{2} \approx 2,83 de P. É o segundo mais distante, mas ainda menor que 10\sqrt{10}. A pegadinha aqui é que a diferença em y é 2 (em módulo), o que pode levar a um cálculo errado se o candidato esquecer de elevar ao quadrado.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

O ponto (1, 0) está a 10≈3,16\sqrt{10} \approx 3,16 de P, a maior distância entre as opções. A diferença em x é 3 e em y é 1, resultando em 32+12=103^2 + 1^2 = 10, que é maior que os quadrados das outras diferenças.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O ponto (7, 1) está a 3 unidades de P, pois a diferença em x é 3 e em y é 0. É uma distância considerável, mas ainda menor que 10\sqrt{10}.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a tendência de comparar apenas as diferenças de coordenadas sem elevar ao quadrado. Por exemplo, a letra E tem diferença 3 em x, mas a letra D tem diferença 3 em x e 1 em y, o que a torna mais distante. Sempre calcule a distância completa, não apenas a maior diferença isolada.

PEGA ESSA DICA!

Para resolver rapidamente, calcule os quadrados das distâncias (evitando a raiz) e compare: d2=(x2−x1)2+(y2−y1)2d^2 = (x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2. O maior d2d^2 corresponde ao ponto mais distante. Nesta questão, os valores de d2d^2 são: A) 2, B) 5, C) 8, D) 10, E) 9 — o maior é 10, letra D.

Gabarito: letra D

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