Questão de Matemática — Geometria Analítica — FGV 2023

Geometria Analítica: circunferências tangentes a lados de um retângulo

Gabarito: letra D — o diâmetro de cada circunferência mede $5 - \sqrt{7}$. A resolução combina a equação reduzida da circunferência (distância do centro a cada lado tangente igual ao raio) com a distância entre os centros, dada como 4. A alternativa correta é a única que satisfaz a equação montada a partir dessas condições.

Vamos entender o problema. Temos um retângulo $ABCD$ com $AB = 6$ e $BC = 4$. Vamos posicioná-lo no plano cartesiano para facilitar: coloque $A = (0,0)$, $B = (6,0)$, $C = (6,4)$ e $D = (0,4)$. Assim, os lados são:

• $DA$: segmento vertical no eixo $x = 0$ (de $y=0$ a $y=4$);

• $DC$: segmento horizontal no topo, $y = 4$ (de $x=0$ a $x=6$);

• $BA$: segmento horizontal na base, $y = 0$ (de $x=0$ a $x=6$);

• $BC$: segmento vertical à direita, $x = 6$ (de $y=0$ a $y=4$).

A primeira circunferência é tangente aos lados $DA$ e $DC$. Isso significa que a distância do seu centro até a reta $x=0$ (lado $DA$) é igual ao raio $r$, e a distância até a reta $y=4$ (lado $DC$) também é igual a $r$. Como o centro está no interior do retângulo, ele deve estar a uma distância $r$ de ambas as retas. Portanto, as coordenadas do centro $O_1$ são $(r, 4 - r)$.

A segunda circunferência é tangente aos lados $BA$ e $BC$. Analogamente, a distância do seu centro até a reta $y=0$ (lado $BA$) é $r$, e até a reta $x=6$ (lado $BC$) também é $r$. Logo, o centro $O_2$ tem coordenadas $(6 - r, r)$.

A distância entre os centros é dada como 4. Usando a fórmula da distância entre dois pontos no plano:

Substituindo as coordenadas:

Elevando ambos os lados ao quadrado:

Expandindo:

Dividindo por 4:

Resolvendo a equação do segundo grau:

Temos duas raízes: $r_1 = \frac{5 + \sqrt{7}}{2}$ e $r_2 = \frac{5 - \sqrt{7}}{2}$. Precisamos verificar qual delas é compatível com o problema. O raio deve ser tal que os centros estejam dentro do retângulo e as circunferências não se sobreponham além do permitido. Como a distância entre os centros é 4, e os raios são iguais, a condição para que as circunferências sejam tangentes ou não se intersectem é $d \geq 2r$ (se forem externas) ou $d \leq |r - r| = 0$ (se uma interna à outra, o que não ocorre aqui). Como $d = 4$, devemos ter $2r \leq 4$, ou seja, $r \leq 2$. A raiz $r_1 = \frac{5 + \sqrt{7}}{2} \approx 3.82$ é maior que 2, o que faria as circunferências se sobreporem (a distância entre centros seria menor que a soma dos raios). Portanto, a raiz válida é $r_2 = \frac{5 - \sqrt{7}}{2} \approx 1.18$, que é menor que 2.

O diâmetro é o dobro do raio:

Portanto, o diâmetro de cada circunferência mede $5 - \sqrt{7}$, que corresponde à alternativa D.

Alternativa A — ❌ Incorreta

$4 - \sqrt{2} \approx 2.59$. Esse valor não satisfaz a equação da distância entre os centros. Se o diâmetro fosse esse, o raio seria $r = \frac{4 - \sqrt{2}}{2} \approx 1.29$, e a distância entre os centros calculada seria $\sqrt{(6 - 2r)^2 + (2r - 4)^2} \approx \sqrt{(6 - 2.58)^2 + (2.58 - 4)^2} = \sqrt{3.42^2 + (-1.42)^2} \approx \sqrt{11.7 + 2.02} \approx \sqrt{13.72} \approx 3.70$, que não é 4. Portanto, não atende à condição do enunciado.

Alternativa B — ❌ Incorreta

$4 - \sqrt{3} \approx 2.27$. Com esse diâmetro, o raio seria $r \approx 1.13$. A distância entre os centros seria $\sqrt{(6 - 2.26)^2 + (2.26 - 4)^2} = \sqrt{3.74^2 + (-1.74)^2} \approx \sqrt{13.99 + 3.03} \approx \sqrt{17.02} \approx 4.13$, que não é 4. Logo, não satisfaz a condição.

Alternativa C — ❌ Incorreta

$5 - \sqrt{5} \approx 2.76$. O raio seria $r \approx 1.38$. A distância entre os centros seria $\sqrt{(6 - 2.76)^2 + (2.76 - 4)^2} = \sqrt{3.24^2 + (-1.24)^2} \approx \sqrt{10.5 + 1.54} \approx \sqrt{12.04} \approx 3.47$, que não é 4. Portanto, incorreta.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, o raio que satisfaz a equação da distância é $r = \frac{5 - \sqrt{7}}{2}$, e o diâmetro é $5 - \sqrt{7}$. Verificação: com $r \approx 1.18$, a distância entre os centros é $\sqrt{(6 - 2.36)^2 + (2.36 - 4)^2} = \sqrt{3.64^2 + (-1.64)^2} \approx \sqrt{13.25 + 2.69} \approx \sqrt{15.94} \approx 3.99 \approx 4$. Confere.

Alternativa E — ❌ Incorreta

$6 - \sqrt{10} \approx 2.84$. O raio seria $r \approx 1.42$. A distância entre os centros seria $\sqrt{(6 - 2.84)^2 + (2.84 - 4)^2} = \sqrt{3.16^2 + (-1.16)^2} \approx \sqrt{9.99 + 1.35} \approx \sqrt{11.34} \approx 3.37$, que não é 4. Incorreta.

Gabarito: letra D