Matemática · FGV · 2023 | Questão sqc-fg071090

Análise Combinatória — Permutações com Ordem Relativa Fixa

Gabarito: letra E (15). O número de sequências de 6 letras da palavra BRASIL em que as vogais (A, I) aparecem na ordem alfabética e as consoantes (B, L, R, S) também aparecem na ordem alfabética é 15. Isso ocorre porque, uma vez escolhidas as posições das vogais, a ordem interna de cada grupo fica determinada — não há liberdade de permutar as vogais entre si nem as consoantes entre si.

O problema é um clássico de permutação com ordem relativa fixa. A palavra BRASIL tem 6 letras distintas: 2 vogais (A, I) e 4 consoantes (B, L, R, S). O total de anagramas seria $6! = 720$ . Porém, a restrição impõe que, dentro de cada grupo (vogais e consoantes), a ordem seja fixa. Isso elimina as permutações internas de cada grupo.

A técnica mais direta é: escolher as posições das vogais entre as 6 disponíveis. Como a ordem das vogais é fixa (A antes de I), basta escolher quais 2 posições serão ocupadas por vogais — a ordem já está determinada. O número de maneiras de escolher 2 posições entre 6 é a combinação $C_{6,2}$ . Nas 4 posições restantes, as consoantes entram na ordem fixa B, L, R, S — novamente, sem liberdade de permutação.

Portanto:

N = C_{6,2} = \frac{6!}{2! \cdot 4!} = \frac{720}{2 \cdot 24} = \frac{720}{48} = 15

Outra forma de enxergar: de todos os $6! = 720$ anagramas, apenas $\frac{1}{2!} \cdot \frac{1}{4!}$ satisfazem a condição, pois as vogais podem aparecer em $2!$ ordens (das quais só 1 é a correta) e as consoantes em $4!$ ordens (das quais só 1 é a correta). Assim:

N = \frac{720}{2! \cdot 4!} = \frac{720}{48} = 15

A pegadinha da banca está em o candidato tentar resolver por permutação simples ( $6! = 720$ ) ou por arranjo, esquecendo que a ordem interna de cada grupo é fixa — não há escolha a fazer dentro das vogais nem dentro das consoantes.

Distribuição de sequências por condição de ordem — só Vogais em ordem: 345; só Consoantes em ordem: 360; Vogais em ordem∩Consoantes em ordem: 15

Alternativa A — ❌ Incorreta

720 é o total de anagramas da palavra BRASIL sem nenhuma restrição ( $6!$ ). A alternativa ignora completamente a condição de ordem alfabética das vogais e consoantes.

Alternativa B — ❌ Incorreta

360 corresponde a $\frac{720}{2}$ , ou seja, considera apenas a restrição das vogais (dividindo por $2!$ ) mas esquece a restrição das consoantes (que exigiria dividir também por $4!$ ).

Alternativa C — ❌ Incorreta

120 é o valor de $5!$ , que não tem relação direta com o problema. Também poderia ser obtido por $\frac{720}{3!}$ , mas não há justificativa combinatória para essa divisão.

Alternativa D — ❌ Incorreta

30 é o dobro da resposta correta (15). Pode surgir de um raciocínio que considera a ordem das vogais como livre ( $2!$ ), mas ainda assim não chega ao valor correto — o correto é dividir por $2! \cdot 4!$ .

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

15 é exatamente $C_{6,2} = \frac{6!}{2! \cdot 4!}$ . Escolhem-se as 2 posições das vogais (a ordem A, I é fixa) e as consoantes ocupam as 4 posições restantes na ordem B, L, R, S. Não há mais nenhuma escolha a fazer.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre permutação simples (onde a ordem importa e tudo pode ser rearranjado) e permutação com ordem fixa (onde a ordem interna de um grupo é predeterminada). O candidato que calcula $6! = 720$ ou que divide apenas por $2!$ (obtendo 360) cai nos distratores. A chave é perceber que, uma vez fixada a ordem alfabética, as vogais e as consoantes não podem ser permutadas entre si — a única escolha é a posição que cada grupo ocupa na sequência.

PEGA ESSA DICA!

Em problemas de "ordem fixa" dentro de um grupo, use a combinação para escolher as posições do grupo menor. Aqui: escolha as posições das 2 vogais entre 6 ( $C_{6,2} = 15$ ) e o resto é automático. Se houvesse 3 vogais e 4 consoantes, seria $C_{7,3} = 35$ . Esse raciocínio vale para qualquer questão do tipo.

Gabarito: letra E