Matemática · FGV · 2023 | Questão sqc-fg071091

Resolução

Gabarito: letra D — são 337 valores inteiros de x. A equação $6y - x = 18$ pode ser reescrita como $x = 6y - 18$ , o que mostra que x é sempre múltiplo de 6 quando y é inteiro. Contando os múltiplos de 6 no intervalo $0 < x < 2024$ , obtemos exatamente 337.

A ideia por trás

A equação dada é uma equação linear com duas incógnitas, mas o problema não pede para resolver um sistema — pede para contar quantos valores de x (inteiros, positivos e menores que 2024) fazem com que y também seja inteiro. O ponto-chave é perceber que, isolando x, a condição de y inteiro se traduz em uma condição de divisibilidade.

Da equação:

6y - x = 18 \Rightarrow x = 6y - 18 = 6(y - 3)

Se y é inteiro, então $y - 3$ é inteiro, e portanto x é um múltiplo de 6. Reciprocamente, se x é múltiplo de 6, então $y = \frac{x + 18}{6}$ é inteiro. Assim, os valores de x procurados são exatamente os múltiplos de 6 no intervalo $0 < x < 2024$ .

Contando os múltiplos de 6

O menor múltiplo de 6 maior que 0 é 6. O maior múltiplo de 6 menor que 2024 é 2022, pois $2022 = 6 \times 337$ e $2028 = 6 \times 338$ já ultrapassa 2024.

Os múltiplos formam uma progressão aritmética: 6, 12, 18, ..., 2022. O número de termos é dado por:

\frac{2022 - 6}{6} + 1 = \frac{2016}{6} + 1 = 336 + 1 = 337

Portanto, há 337 valores inteiros de x.

Análise das alternativas

Caso	Atribuição de x	Resultado
Caso 1	x = 6 (múltiplo de 6, menor > 0)	y = (6+18)/6 = 4, inteiro
Caso 2	x = 2022 (múltiplo de 6, maior < 2024)	y = (2022+18)/6 = 340, inteiro
Caso 3	x = 2024 (não múltiplo de 6)	y = (2024+18)/6 = 340,333..., não inteiro

Alternativa A — ❌ Incorreta

331 é o resultado de um erro comum: dividir 2024 por 6 e arredondar para baixo (2024/6 ≈ 337,33, mas o candidato pode ter subtraído 6 ou contado errado). Na verdade, o número de múltiplos de 6 entre 1 e 2024 é 337, não 331.

Alternativa B — ❌ Incorreta

333 também é um distrator. Pode vir de um cálculo incorreto como 2024/6 = 337,33 e depois subtrair 4, ou de uma contagem que exclui alguns múltiplos. O correto é 337.

Alternativa C — ❌ Incorreta

335 é outro valor próximo, mas incorreto. Pode resultar de um erro na determinação do último múltiplo (por exemplo, usar 2016 em vez de 2022) ou de uma divisão mal feita. O correto é 337.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

337 é exatamente o número de múltiplos de 6 no intervalo $0 < x < 2024$ . A conta é: o menor múltiplo é 6, o maior é 2022, e a quantidade de termos da PA é $\frac{2022 - 6}{6} + 1 = 337$ . Portanto, esta é a alternativa correta.

Alternativa E — ❌ Incorreta

339 é um valor acima do correto. Pode vir de um erro de arredondamento (2024/6 ≈ 337,33, arredondado para cima) ou de contar múltiplos além de 2024. O correto é 337.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre o intervalo aberto ( $0 < x < 2024$ ) e o fechado. Se o candidato considerar x = 2024, ele conta um múltiplo a mais (2024 não é múltiplo de 6, mas 2028 é, e 2024 não entra). Além disso, é fácil errar na contagem da PA: muitos esquecem de somar 1 ao final. Fique atento: o último múltiplo é 2022, não 2024.

PEGA ESSA DICA!

Para contar múltiplos de um número k em um intervalo (a, b), use a fórmula: $\text{quantidade} = \lfloor \frac{b-1}{k} \rfloor - \lfloor \frac{a}{k} \rfloor$ . Aqui, $\lfloor \frac{2023}{6} \rfloor - \lfloor \frac{0}{6} \rfloor = 337 - 0 = 337$ . Isso evita erros de contagem.

Gabarito: letra D