Questão de Matemática — Potência — FGV 2023

Quantidade de algarismos de uma potência

Gabarito: letra D — o número $2^{30}$ tem 10 algarismos. A forma mais rápida é usar a aproximação $2^{10} = 1024 \approx 10^3$, de modo que $2^{30} = (2^{10})^3 \approx (10^3)^3 = 10^9$, que tem 10 algarismos (1 seguido de 9 zeros).

A ideia por trás

A questão cobra a relação entre potências de 2 e potências de 10, que é a chave para estimar a ordem de grandeza de um número sem calculá-lo por extenso. Sabemos que:

• $2^{10} = 1024$, que é um número de 4 algarismos.

• $10^3 = 1000$, que tem 4 algarismos também.

Como $1024$ é um pouco maior que $1000$, temos $2^{10} > 10^3$. Elevando ambos os lados ao cubo:

O número $10^9$ é 1 seguido de 9 zeros, ou seja, tem 10 algarismos. Como $2^{30}$ é um pouco maior que $10^9$, ele também terá 10 algarismos (pois ainda é menor que $10^{10}$, que tem 11 algarismos).

Para confirmar, podemos calcular exatamente:

Esse número tem 10 algarismos. A pegadinha da banca é fazer o candidato contar os algarismos de $2^{10} = 1024$ (4 algarismos) e multiplicar por 3, obtendo 12 — o que está errado, pois a quantidade de algarismos não é proporcional ao expoente.

Alternativa A — ❌ Incorreta

7 algarismos seria o caso de $2^{23} \approx 8,4 \times 10^6$, que tem 7 algarismos. Mas $2^{30}$ é bem maior: $2^{30} \approx 1,07 \times 10^9$, que tem 10 algarismos. A alternativa subestima a ordem de grandeza.

Alternativa B — ❌ Incorreta

8 algarismos corresponderia a um número entre $10^7$ e $10^8$, como $2^{26} \approx 6,7 \times 10^7$. Mas $2^{30}$ é $1.073.741.824$, que está entre $10^9$ e $10^{10}$, portanto tem 10 algarismos, não 8.

Alternativa C — ❌ Incorreta

9 algarismos seria o caso de $2^{29} \approx 5,4 \times 10^8$, que tem 9 algarismos. Mas $2^{30}$ é o dobro disso, ultrapassando $10^9$, e por isso tem 10 algarismos.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

10 algarismos é a resposta correta. O número $2^{30} = 1.073.741.824$ tem exatamente 10 algarismos. A justificativa mais elegante é:

Como $10^9$ tem 10 algarismos (1 seguido de 9 zeros) e $2^{30}$ é um pouco maior que $10^9$ mas menor que $10^{10}$, ele também tem 10 algarismos.

Alternativa E — ❌ Incorreta

11 algarismos seria o caso de $2^{33} \approx 8,6 \times 10^9$, que tem 10 algarismos também (pois $8,6 \times 10^9$ está entre $10^9$ e $10^{10}$). Na verdade, $2^{33}$ tem 10 algarismos. Para ter 11 algarismos, o número precisaria ser maior ou igual a $10^{10}$, o que ocorre a partir de $2^{34} \approx 1,7 \times 10^{10}$. Como $2^{30}$ é bem menor, não chega a 11 algarismos.

Gabarito: letra D