Uma peça é colocada na casa 1 de um tabuleiro de 10 casas. Ela se move com a seguinte regra de probabilidade: a peça avança uma casa se um número par é obtido no lançamento de um dado e a peça avança duas casas se o número obtido for ímpar. Seja C(j) a probabilidade de a peça cair na casa j.Então, é correto afirmar que:
AC(9)= (C(7) + C(8))/2;
BC(9)= C(8)/2 + C(7);
CC(9)= C(7)/2 + C(8);
DC(9)= (2C(7) + C(8))/3;
EC(9)= (2C(8) + C(7))/3.
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GabaritoA — C(9)= (C(7) + C(8))/2;
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Probabilidade: recorrência no tabuleiro
Gabarito: letra A. A probabilidade de cair na casa 9 é a média aritmética das probabilidades de cair nas casas 7 e 8, pois a peça chega à casa 9 vinda da casa 7 (com um avanço de 2 casas, que ocorre com probabilidade 1/2) ou vinda da casa 8 (com um avanço de 1 casa, também com probabilidade 1/2). Assim, C(9) = (C(7) + C(8))/2.
A ideia por trás
A peça se move de acordo com o resultado de um dado: se sair número par (probabilidade 3/6 = 1/2), avança 1 casa; se sair ímpar (probabilidade 3/6 = 1/2), avança 2 casas. Para calcular a probabilidade de a peça cair em uma casa j, precisamos considerar de quais casas anteriores ela pode ter vindo e com qual probabilidade.
Para a casa 9, a peça só pode ter vindo:
da casa 7, avançando 2 casas (resultado ímpar, probabilidade 1/2);
da casa 8, avançando 1 casa (resultado par, probabilidade 1/2).
Como esses eventos são mutuamente exclusivos (a peça não pode vir das duas casas ao mesmo tempo), a probabilidade total é a soma das probabilidades de cada caminho:
Essa é uma aplicação direta do teorema da probabilidade total, que é a base para resolver problemas de recorrência como este.
1Vem da casa 7 (ímpar, 1/2)
2Vem da casa 8 (par, 1/2)
3C(9) = (C(7)+C(8))/2
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Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO
Exatamente a expressão deduzida: C(9) = (C(7) + C(8))/2. A peça chega à casa 9 vinda da casa 7 (com probabilidade 1/2) ou da casa 8 (com probabilidade 1/2), então a probabilidade é a média aritmética das duas.
Alternativa B — ❌ Incorreta
C(9) = C(8)/2 + C(7). Aqui o peso de C(7) está errado: deveria ser multiplicado por 1/2, não por 1. A banca trocou o coeficiente de C(7), fazendo parecer que a peça viria da casa 7 com probabilidade 1, o que é impossível (a probabilidade de sair ímpar é 1/2).
Alternativa C — ❌ Incorreta
C(9) = C(7)/2 + C(8). O erro é o oposto do anterior: agora C(8) tem peso 1, mas deveria ser 1/2. A peça não vem da casa 8 com probabilidade 1; ela vem com probabilidade 1/2 (sair par).
Alternativa D — ❌ Incorreta
C(9) = (2C(7) + C(8))/3. Essa expressão sugere pesos 2/3 e 1/3, que não correspondem às probabilidades do dado. O dado tem probabilidade 1/2 para par e 1/2 para ímpar, então os pesos devem ser iguais a 1/2, não 2/3 e 1/3.
Alternativa E — ❌ Incorreta
C(9) = (2C(8) + C(7))/3. Novamente pesos errados: 2/3 para C(8) e 1/3 para C(7). Não há base para esses pesos; a probabilidade de cada resultado do dado é 1/2.
NÃO CAIA NESSA!
A banca tenta confundir os coeficientes, fazendo o candidato achar que a casa 7 (que está mais longe) teria peso maior, ou que a casa 8 teria peso 1. Mas a regra do dado é simétrica: par e ímpar têm a mesma probabilidade (1/2). Portanto, os pesos são iguais — a resposta é a média simples. Fique atento: sempre que o movimento tiver duas possibilidades com a mesma probabilidade, a probabilidade da casa alvo é a média das probabilidades das casas de origem.
PEGA ESSA DICA!
Para resolver questões de recorrência como esta, identifique de quais casas a peça pode vir e com qual probabilidade. Monte a equação: C(j) = Σ C(origem) × P(movimento). No caso, C(9) = C(7)×(1/2) + C(8)×(1/2). Esse método vale para qualquer tabuleiro e qualquer regra de movimento.