Matemática · FGV · 2023 | Questão sqc-fg071439

Área do triângulo ABG em um paralelepípedo reto

Gabarito: letra D — a área do triângulo ABG é 20. O triângulo ABG é retângulo em B, com catetos AB = 8 e BG = 5 (BG é a diagonal da face BCGF, calculada por Pitágoras: $BG = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ ). A área é $\frac{8 \times 5}{2} = 20$ .

O que a questão cobra

A questão mistura geometria espacial (paralelepípedo) com geometria plana (área de triângulo). O paralelepípedo reto tem todas as faces laterais retangulares e as bases são paralelogramos. No paralelepípedo reto, as arestas laterais (como CG) são perpendiculares ao plano da base, o que garante que o triângulo ABG seja retângulo em B.

Passo a passo

Identificar o triângulo ABG: A, B e C são vértices consecutivos da base; G é o vértice superior acima de C. O triângulo ABG tem vértices A (base), B (base) e G (topo, acima de C).

Calcular BG: No retângulo BCGF (face lateral), BC = 3 e CG = 4. A diagonal BG é a hipotenusa do triângulo retângulo BCG:
$BG = \sqrt{BC^2 + CG^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

Verificar que ABG é retângulo em B: AB está na base (horizontal), BG está na face lateral (vertical). Como o paralelepípedo é reto, AB é perpendicular a BG. Portanto, AB e BG são os catetos do triângulo retângulo ABG.

Calcular a área:
$\text{Área} = \frac{AB \times BG}{2} = \frac{8 \times 5}{2} = 20$

Análise das alternativas

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor 10 seria obtido se você usasse apenas um dos catetos e dividisse por 2 sem considerar o outro (ex.: $\frac{8 \times 2.5}{2}$ ) ou se confundisse a área com a metade de um dos lados. O cálculo correto exige os dois catetos do triângulo retângulo ABG: AB = 8 e BG = 5.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor 15 poderia surgir de um erro de cálculo como $\frac{8 \times 3}{2} + 3$ ou de uma interpretação equivocada de que BG seria 3 (aresta BC) em vez da diagonal da face. Lembre-se: BG é a diagonal da face BCGF, não a aresta BC.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O valor 18 não corresponde a nenhuma combinação direta dos dados. Poderia vir de $\frac{8 \times 4.5}{2}$ (usando metade de 9) ou de um erro de soma dos lados. A área correta é 20, obtida com os catetos 8 e 5.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

O triângulo ABG é retângulo em B, pois AB está na base e BG está na face lateral, que são perpendiculares no paralelepípedo reto. Os catetos são AB = 8 e BG = 5 (diagonal da face BCGF, calculada por Pitágoras: $\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ ). A área é $\frac{8 \times 5}{2} = 20$ .

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor 24 seria obtido se você calculasse $8 \times 3$ (arestas AB e BC) sem dividir por 2, ou se usasse a área da face BCGF (3 × 4 = 12) e dobrasse. O triângulo ABG não usa BC diretamente; usa a diagonal BG.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre a aresta BC (3) e a diagonal BG (5). Muitos candidatos usam 3 como cateto do triângulo ABG, esquecendo que G está acima de C, não acima de B. O triângulo ABG tem catetos AB (8) e BG (5), não AB e BC. Sempre verifique quais vértices formam o triângulo e se o segmento é aresta ou diagonal de face.

PEGA ESSA DICA!

Em problemas de paralelepípedo, desenhe a figura e marque os vértices. Identifique se o segmento é aresta, diagonal de face ou diagonal do sólido. Para diagonais de face, use Pitágoras com as duas arestas da face. Para o triângulo, confirme se é retângulo (arestas perpendiculares) antes de aplicar a fórmula da área.

Gabarito: letra D