Questão de Matemática — Estatística — FGV 2023

Moda e números distintos

Gabarito: letra C — a conta chega a 92 números distintos (alternativa C). A moda é o valor que mais se repete; para minimizar a quantidade de números diferentes, todos os outros valores devem aparecer apenas uma vez, e a moda, 23 vezes.

A ideia por trás

A moda é a medida de tendência central que indica o valor mais frequente de um conjunto. Aqui, a moda é única e ocorre exatamente 23 vezes. Isso significa que nenhum outro número pode aparecer 23 vezes ou mais — se aparecesse, teríamos outra moda (ou modas múltiplas).

Para minimizar a quantidade de números distintos, precisamos que todos os outros números apareçam o mínimo possível, ou seja, apenas 1 vez cada. Assim, a lista terá:

• 1 número (a moda) que aparece 23 vezes;

• $x$ números que aparecem 1 vez cada.

O total de elementos é 2023:

Portanto, há 2000 números que aparecem uma única vez, mais a própria moda. O total de números distintos é:

Esse raciocínio está errado! Vamos refazer com atenção.

Na verdade, a conta correta é:

• A moda aparece 23 vezes.

• Os outros números distintos aparecem, no mínimo, 1 vez cada.

• Se há $n$ números distintos no total, então um deles (a moda) aparece 23 vezes e os outros $n-1$ aparecem pelo menos 1 vez.

O total de elementos é:

Isso daria 2001, que não está nas alternativas. Onde está o erro?

A pegadinha: a questão pede o número mínimo de inteiros distintos. Para minimizar, devemos maximizar a frequência dos outros números, mas sem ultrapassar a moda (23 vezes). O máximo que um outro número pode aparecer é 22 vezes (se aparecesse 23, empataria com a moda, e ela deixaria de ser única).

Então, para minimizar a quantidade de números distintos, fazemos os outros números aparecerem o máximo possível: 22 vezes cada.

Seja $k$ o número de outros valores distintos (além da moda). Cada um aparece 22 vezes. O total de elementos é:

Como $k$ deve ser inteiro, precisamos de pelo menos 91 outros valores. Mas vamos verificar:

• Com $k = 90$: $23 + 22 \times 90 = 23 + 1980 = 2003$ (faltam 20 elementos).

• Com $k = 91$: $23 + 22 \times 91 = 23 + 2002 = 2025$ (passou 2 elementos).

Nenhum dos dois dá exatamente 2023. Precisamos ajustar: alguns números podem aparecer menos vezes (mas nunca 23, para não empatar com a moda).

Com $k = 91$, temos 2025 elementos, ou seja, 2 a mais. Podemos reduzir a frequência de dois números de 22 para 21 (ou um número de 22 para 20). Isso mantém a moda única (nenhum chega a 23) e o total fica:

Perfeito! Então temos:

• 1 número (moda) com 23 ocorrências;

• 89 números com 22 ocorrências;

• 2 números com 21 ocorrências.

Total de números distintos: $1 + 89 + 2 = 92$.

Alternativa A — ❌ Incorreta

90 números distintos não são suficientes. Com 90 outros números, o máximo de elementos seria $23 + 90 \times 22 = 2003$, que é menor que 2023. Para atingir 2023, precisaríamos que algum número aparecesse 23 vezes ou mais, o que violaria a unicidade da moda.

Alternativa B — ❌ Incorreta

91 números distintos também não fecham a conta. Com 91 outros números, o mínimo de elementos seria $23 + 91 \times 1 = 114$ (se todos aparecessem 1 vez), mas o máximo seria $23 + 91 \times 22 = 2025$, que ultrapassa 2023. Para ajustar, precisaríamos reduzir algumas frequências, mas isso ainda resultaria em 92 números distintos, não 91.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

92 é o número mínimo. A distribuição é: 1 número com 23 ocorrências, 89 números com 22 ocorrências e 2 números com 21 ocorrências. Total: $1 + 89 + 2 = 92$ números distintos, e o total de elementos é $23 + 89 \times 22 + 2 \times 21 = 2023$.

Alternativa D — ❌ Incorreta

93 números distintos seriam possíveis, mas não é o mínimo. Se conseguimos com 92, qualquer número maior também é possível, mas a questão pede o mínimo.

Alternativa E — ❌ Incorreta

94 números distintos também não é o mínimo, pelo mesmo motivo da alternativa D.

Gabarito: letra C