Questão de Matemática — Cilindro — FGV 2023

Volume de cilindro e cone

Gabarito: letra C (45 cm). Como o cilindro e o cone têm o mesmo volume, e o raio da base do cone é o dobro do raio da base do cilindro, a altura do cone deve ser 45 cm. Isso porque o volume do cone é um terço do volume de um cilindro de mesma base e altura, então, para compensar o raio dobrado (que quadruplica a área da base), a altura precisa ser reduzida a um quarto da altura do cilindro, resultando em $\frac{60}{4} = 15$ cm — mas atenção: a relação correta envolve o fator 1/3 do cone, o que leva a $h_{cone} = \frac{3 \cdot 60}{4} = 45$ cm.

A questão cobra a relação entre os volumes do cilindro e do cone. O volume de um cilindro reto é dado por $V_{cilindro} = \pi r^2 h$, e o volume de um cone é $V_{cone} = \frac{1}{3} \pi r^2 h$. A pegadinha clássica é esquecer o fator $\frac{1}{3}$ do cone, o que levaria a uma resposta errada (15 cm). Vamos resolver passo a passo.

Seja $r$ o raio da base do cilindro e $h_c = 60$ cm sua altura. O cone tem raio $2r$ (dobro) e altura $h_{cone}$ desconhecida. Igualando os volumes:

Cancelando $\pi r^2$ (já que $r \neq 0$):

Portanto, a altura do cone é 45 cm.

Alternativa A — ❌ Incorreta

15 cm seria a resposta se o cone tivesse o mesmo volume de um cilindro com a mesma base (raio $r$) e altura 60 cm, mas sem considerar o fator $\frac{1}{3}$ do cone. Ou seja, é o resultado de $\frac{60}{4} = 15$ cm, ignorando que o volume do cone é um terço do volume do cilindro de mesma base e altura. Como o cone tem raio dobrado, a área da base quadruplica, e a altura precisaria ser $\frac{60}{4} = 15$ cm apenas se o volume do cone fosse igual ao do cilindro com a mesma base — mas não é, pois o cone tem um terço do volume. Por isso, 15 cm está incorreto.

Alternativa B — ❌ Incorreta

30 cm seria a resposta se o raio do cone fosse apenas $\sqrt{2}$ vezes o raio do cilindro (o que dobraria a área da base), ou se o fator $\frac{1}{3}$ fosse aplicado de forma incorreta. Na verdade, com o raio dobrado, a área da base quadruplica, e o fator $\frac{1}{3}$ do cone exige uma altura de 45 cm, não 30 cm. Portanto, 30 cm está incorreto.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

45 cm é a altura correta do cone. Como demonstrado, igualando os volumes e resolvendo a equação, obtemos $h_{cone} = 45$ cm. A alternativa está correta porque considera corretamente o fator $\frac{1}{3}$ do volume do cone e o quadrado do raio (dobro do raio do cilindro).

Alternativa D — ❌ Incorreta

60 cm seria a resposta se o cone tivesse o mesmo raio do cilindro e a mesma altura, mas isso não é o caso, pois o raio do cone é o dobro. Com o raio dobrado, a área da base quadruplica, e para manter o mesmo volume, a altura teria que ser menor. Portanto, 60 cm está incorreto.

Alternativa E — ❌ Incorreta

75 cm seria a resposta se o raio do cone fosse menor que o do cilindro (o que reduziria a área da base), mas aqui o raio é o dobro, então a altura deve ser menor que 60 cm, não maior. Portanto, 75 cm está incorreto.

Gabarito: letra C