Matemática · FGV · 2023 | Questão sqc-fg071573

Probabilidade — Soma de três dados

Gabarito: letra B (N = 15). A probabilidade de a soma dos três lançamentos ser 7 é $\frac{15}{216}$ , pois há 15 combinações ordenadas de três números de 1 a 6 que somam 7, dentre as $6^3 = 216$ possibilidades igualmente prováveis. O valor de N é 15.

O problema envolve a definição clássica de probabilidade: a probabilidade de um evento é a razão entre o número de casos favoráveis e o número de casos possíveis. Como o dado é honesto, cada uma das 216 sequências ordenadas de três lançamentos tem a mesma chance de ocorrer. O espaço amostral é o conjunto de todas as triplas ordenadas $(a, b, c)$ com $a, b, c \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ .

O evento de interesse é a soma $a + b + c = 7$ . Para contar os casos favoráveis, precisamos encontrar todas as triplas ordenadas que satisfazem essa condição. Uma forma sistemática é fixar o valor do primeiro dado e verificar as possibilidades para os outros dois.

Vamos listar as combinações ordenadas:

Se o primeiro dado é 1: precisamos de $b + c = 6$ . As possibilidades são (1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1) → 5 triplas: (1,1,5), (1,2,4), (1,3,3), (1,4,2), (1,5,1).
Se o primeiro dado é 2: precisamos de $b + c = 5$ . As possibilidades são (1,4), (2,3), (3,2), (4,1) → 4 triplas: (2,1,4), (2,2,3), (2,3,2), (2,4,1).
Se o primeiro dado é 3: precisamos de $b + c = 4$ . As possibilidades são (1,3), (2,2), (3,1) → 3 triplas: (3,1,3), (3,2,2), (3,3,1).
Se o primeiro dado é 4: precisamos de $b + c = 3$ . As possibilidades são (1,2), (2,1) → 2 triplas: (4,1,2), (4,2,1).
Se o primeiro dado é 5: precisamos de $b + c = 2$ . A possibilidade é (1,1) → 1 tripla: (5,1,1).
Se o primeiro dado é 6: precisamos de $b + c = 1$ , o que é impossível, pois o valor mínimo de cada dado é 1.

Somando: $5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15$ casos favoráveis.

Portanto, a probabilidade é:

P = \frac{15}{216}

O valor de N é 15.

Soma de três dados — só Soma 7: 15; só Total de resultados: 201; Soma 7∩Total de resultados: 0

Alternativa A — ❌ Incorreta

O número 14 não corresponde à contagem correta. Se o aluno contar apenas as combinações não ordenadas (ignorando a ordem dos dados), encontraria 4 combinações: (1,1,5), (1,2,4), (1,3,3), (2,2,3). Mas cada uma dessas combinações gera múltiplas sequências ordenadas. Por exemplo, (1,2,4) gera 6 permutações, enquanto (1,1,5) gera 3. A soma correta das permutações é 15, não 14. O erro típico é esquecer de contar alguma permutação, como (2,2,3) que tem 3 permutações, ou contar (1,3,3) como tendo 6 em vez de 3.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A contagem correta das triplas ordenadas que somam 7 é 15, como demonstrado acima. A probabilidade é $\frac{15}{216}$ , portanto N = 15.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O número 20 não corresponde a nenhuma contagem correta. Pode surgir se o aluno contar as combinações de forma incorreta, por exemplo, incluindo triplas que somam 8 ou 9, ou se confundir com o número de combinações para soma 8 (que é 21). A soma 8 tem 21 combinações ordenadas, e a soma 9 tem 25. O aluno pode ter confundido a soma alvo.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O número 21 é exatamente o número de combinações ordenadas para a soma 8, não para a soma 7. É um distrator clássico: o aluno conta as triplas para soma 8 em vez de soma 7. Para soma 8, as combinações são: (1,1,6), (1,2,5), (1,3,4), (2,2,4), (2,3,3), cada uma com suas permutações, totalizando 21.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O número 23 não corresponde a nenhuma contagem correta para soma 7. Pode surgir de um erro de contagem, como incluir triplas que somam 10 (que tem 27 combinações) ou de um cálculo incorreto das permutações. Não há uma justificativa lógica simples para esse número, sendo um distrator aleatório.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre combinações não ordenadas e sequências ordenadas. Para soma 7, há apenas 4 combinações não ordenadas: (1,1,5), (1,2,4), (1,3,3), (2,2,3). Mas cada uma gera um número diferente de sequências ordenadas: 3, 6, 3 e 3, respectivamente, totalizando 15. O candidato que conta apenas as combinações (4) ou que conta as permutações de forma incorreta (por exemplo, tratando (1,3,3) como 6 em vez de 3) erra a questão. A dica é: sempre verifique se a ordem importa — em lançamentos de dados, cada sequência é um resultado distinto.

PEGA ESSA DICA!

Para problemas de soma de dados, uma técnica eficiente é fixar o primeiro dado e contar as possibilidades para os outros dois, como fizemos. Isso evita esquecimentos. Outra abordagem é usar a função geradora $(x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6)^3$ e identificar o coeficiente de $x^7$ , que é 15. Na prova, a contagem manual é mais rápida e segura.

Gabarito: letra B