Questão de Matemática — Álgebra Linear - Equações Lineares, Espaço Vetorial e Transformações Lineares e Matrizes — FGV 2023

Problema com moedas: sistema linear

Gabarito: letra D — Paula tem 23 moedas de R$ 1,00 a mais do que moedas de R$ 0,10. A resolução monta um sistema linear com três incógnitas (quantidades de moedas de R$ 0,10, R$ 0,50 e R$ 1,00) e duas equações (total de moedas e valor total), usando a relação entre as quantidades de R$ 0,50 e R$ 0,10 para fechar o sistema.

O problema é um clássico de sistemas lineares aplicado a um contexto de contagem de moedas. Vamos definir as incógnitas:

• $x$ = quantidade de moedas de R$ 0,10

• $y$ = quantidade de moedas de R$ 0,50

• $z$ = quantidade de moedas de R$ 1,00

O enunciado fornece três informações que viram equações:

1. Total de moedas: $x + y + z = 100$

2. Relação entre R$ 0,50 e R$ 0,10: Paula tem 11 moedas de R$ 0,50 a mais do que de R$ 0,10, ou seja, $y = x + 11$.

3. Valor total: $0,10x + 0,50y + 1,00z = 63,70$ (em reais).

Para facilitar, multiplicamos a equação do valor por 10, eliminando as casas decimais: $x + 5y + 10z = 637$.

Agora, substituímos $y = x + 11$ nas outras duas equações:

• Na equação do total: $x + (x + 11) + z = 100 \Rightarrow 2x + z = 89$.

• Na equação do valor: $x + 5(x + 11) + 10z = 637 \Rightarrow 6x + 10z = 582$.

Temos o sistema:

Da primeira equação, $z = 89 - 2x$. Substituindo na segunda:

$6x + 10(89 - 2x) = 582$

$6x + 890 - 20x = 582$

$-14x = -308$

$x = 22$

Portanto, $z = 89 - 2 \times 22 = 89 - 44 = 45$.

A pergunta é: quantas moedas de R$ 1,00 Paula tem a mais do que moedas de R$ 0,10? Isso é $z - x = 45 - 22 = 23$.

Alternativa A — ❌ Incorreta

11 é a diferença entre as moedas de R$ 0,50 e R$ 0,10, não entre as de R$ 1,00 e R$ 0,10. Quem confunde as duas relações cai nessa alternativa.

Alternativa B — ❌ Incorreta

12 não corresponde a nenhuma relação direta do problema. Pode surgir de um erro de cálculo na resolução do sistema (por exemplo, trocar um sinal ou errar a subtração).

Alternativa C — ❌ Incorreta

22 é exatamente o valor de $x$ (quantidade de moedas de R$ 0,10). O candidato que encontra $x = 22$ e para por aí, sem calcular a diferença pedida, marca esta alternativa.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como calculado, $z - x = 45 - 22 = 23$. A diferença pedida é 23.

Alternativa E — ❌ Incorreta

33 não tem relação com os dados. Pode ser resultado de uma montagem errada do sistema (por exemplo, usar $y = x - 11$ em vez de $y = x + 11$, o que levaria a outros valores).

Gabarito: letra D