Questão de Estatística — Estatística descritiva (análise exploratória de dados) — FGV 2023

Distribuição Binomial: média e variância

Gabarito: letra B (n = 25). Para uma distribuição binomial com parâmetros $n$ e $p$, a média é $E(X) = np$ e a variância é $Var(X) = np(1-p)$. Como o desvio padrão é 2, a variância é 4. Temos então o sistema $np = 20$ e $np(1-p) = 4$. Dividindo a segunda equação pela primeira, obtemos $1-p = 0{,}2$, logo $p = 0{,}8$. Substituindo em $np = 20$, vem $n \times 0{,}8 = 20$, portanto $n = 25$.

A questão explora a relação entre os parâmetros da binomial e suas medidas de posição e dispersão. É essencial lembrar que, na binomial, a média e a variância não são independentes: ambas dependem de $n$ e $p$. A variância é sempre menor que a média (pois $1-p < 1$), o que já ajuda a conferir a coerência dos resultados.

A pegadinha mais comum é usar o desvio padrão como se fosse a variância, ou seja, montar $np(1-p) = 2$ em vez de $np(1-p) = 4$. Isso levaria a um sistema sem solução inteira, indicando o erro. Outra confusão frequente é inverter o papel de $p$ e $q$ ao resolver o sistema.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Se $n = 1$, a média seria $np = p$, que só seria 20 se $p = 20$, impossível (pois $0 \le p \le 1$). Além disso, a variância seria $p(1-p) \le 0{,}25$, nunca 4. Portanto, $n = 1$ é incompatível com os dados.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Com $n = 25$ e $p = 0{,}8$, temos média $np = 25 \times 0{,}8 = 20$ e variância $np(1-p) = 25 \times 0{,}8 \times 0{,}2 = 4$, cuja raiz quadrada é o desvio padrão 2. Confere exatamente com o enunciado.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Se $n = 40$, para média 20 teríamos $p = 0{,}5$. A variância seria $40 \times 0{,}5 \times 0{,}5 = 10$, e o desvio padrão $\sqrt{10} \approx 3{,}16$, não 2. O valor 40 é um distrator: corresponde a $n$ se alguém confundir variância com desvio padrão ao quadrado de forma incorreta (por exemplo, $np(1-p) = 2$ levaria a $n = 40$ com $p = 0{,}5$).

Alternativa D — ❌ Incorreta

Se $n = 80$, para média 20 teríamos $p = 0{,}25$. A variância seria $80 \times 0{,}25 \times 0{,}75 = 15$, e o desvio padrão $\sqrt{15} \approx 3{,}87$, não 2. O valor 80 é o dobro de 40, outro distrator numérico sem relação com a solução.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Se $n = 400$, para média 20 teríamos $p = 0{,}05$. A variância seria $400 \times 0{,}05 \times 0{,}95 = 19$, e o desvio padrão $\sqrt{19} \approx 4{,}36$, não 2. O valor 400 é um distrator que surge se alguém elevar o desvio padrão ao quadrado e depois multiplicar por algo errado, ou confundir com o tamanho de amostra em outros contextos.

Gabarito: letra B.