Questão de Estatística — Estatística descritiva (análise exploratória de dados) — FGV 2023

Medidas de tendência central e dispersão para dados ordenados

Gabarito: letra B. Para a amostra {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, a mediana é a média aritmética dos dois termos centrais (5 e 6), resultando em 5,5. As demais alternativas apresentam valores incorretos: a média é 5,5 (não 5,0), não há moda (todos os valores são distintos), o desvio padrão é aproximadamente 3,03 (não 3,0) e a assimetria é nula (distribuição simétrica).

A questão cobra as principais medidas-resumo de um conjunto de dados: tendência central (média, mediana, moda), dispersão (desvio padrão) e forma (assimetria). Para dados ordenados e com número par de elementos (n = 10), a mediana é calculada como a média dos dois valores centrais. A média aritmética é a soma dividida pelo número de elementos. A moda é o valor que mais se repete; se não há repetição, não existe moda. O desvio padrão mede a dispersão em torno da média, e a assimetria indica o grau de simetria da distribuição — quando média e mediana coincidem, a distribuição é simétrica e a assimetria é nula.

Vamos calcular cada medida para a amostra dada:

• Média: $\bar{x} = \frac{1+2+3+4+5+6+7+8+9+10}{10} = \frac{55}{10} = 5,5$

• Mediana: como n = 10 (par), a mediana é a média dos termos de ordem 5 e 6: $Md = \frac{5+6}{2} = 5,5$

• Moda: não há valor que se repete, portanto a amostra é amodal.

• Desvio padrão: primeiro calculamos a variância. Para uma amostra, a variância é dada por $s^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n-1}$. Os desvios são: -4,5; -3,5; -2,5; -1,5; -0,5; 0,5; 1,5; 2,5; 3,5; 4,5. A soma dos quadrados é $20,25 + 12,25 + 6,25 + 2,25 + 0,25 + 0,25 + 2,25 + 6,25 + 12,25 + 20,25 = 82,5$. Dividindo por n-1 = 9, temos $s^2 = 9,1667$, e o desvio padrão é $s = \sqrt{9,1667} \approx 3,03$.

• Assimetria: como a distribuição é perfeitamente simétrica (média = mediana = 5,5), a assimetria é nula (ou aproximadamente zero).

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que a média é igual a 5,0. O cálculo correto é $\bar{x} = \frac{55}{10} = 5,5$. A banca troca a média pela mediana ou simplesmente erra o cálculo. A média é a soma de todos os valores dividida pelo número de elementos, e aqui resulta em 5,5, não 5,0.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A mediana é a medida que divide o conjunto ordenado ao meio. Como n = 10 (par), a mediana é a média aritmética dos dois termos centrais, que são o 5º e o 6º elementos: 5 e 6. Portanto, $Md = \frac{5+6}{2} = 5,5$. Esta é a única alternativa correta.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que a moda é igual a 5,5. A moda é o valor que mais se repete no conjunto. Nesta amostra, todos os valores de 1 a 10 aparecem exatamente uma vez, portanto não há moda (a amostra é amodal). O valor 5,5 é a mediana e a média, não a moda. A banca confunde moda com mediana/média.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que o desvio padrão é igual a 3,0. O desvio padrão amostral é aproximadamente 3,03, não 3,0. O valor 3,0 seria o desvio padrão se a variância fosse exatamente 9, mas aqui a variância amostral é $\frac{82,5}{9} \approx 9,17$, e a raiz quadrada é $\approx 3,03$. A banca arredonda incorretamente ou usa a variância populacional (que seria $\frac{82,5}{10} = 8,25$, com desvio $\approx 2,87$).

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que a assimetria é positiva. A distribuição é perfeitamente simétrica, pois os valores são igualmente espaçados e a média é igual à mediana. Em uma distribuição simétrica, a assimetria é nula (ou aproximadamente zero). Assimetria positiva ocorreria se a cauda à direita fosse mais longa, o que não é o caso aqui.

Gabarito: letra B