GabaritoD — 5;
Gabarito: letra D. A covariância entre X e Y é 5. Isso decorre da propriedade da variância da diferença: Var(X − Y) = Var(X) + Var(Y) − 2·Cov(X, Y). Substituindo os valores fornecidos (Var(X) = 8, Var(Y) = 2, Var(X − Y) = 0), obtemos 0 = 8 + 2 − 2·Cov(X, Y), logo Cov(X, Y) = 5.
A covariância mede a tendência de duas variáveis aleatórias variarem juntas. Quando a variância da diferença X − Y é nula, isso significa que X − Y é uma constante (não varia), o que impõe uma relação linear perfeita entre X e Y. A fórmula geral para a variância de uma combinação linear é:
Var(aX + bY) = a²·Var(X) + b²·Var(Y) + 2ab·Cov(X, Y)
No caso da diferença (a = 1, b = −1), temos:
Var(X − Y) = Var(X) + Var(Y) − 2·Cov(X, Y)
Essa é a propriedade central que a questão explora. A banca fornece as variâncias individuais e a variância da diferença, e pede a covariância — uma aplicação direta da fórmula, sem armadilhas conceituais, mas que exige lembrar o sinal negativo do termo da covariância.
Caso | Cov(X,Y) testada | Var(X−Y) resultante | Resultado |
|---|---|---|---|
A | 0 | 8 + 2 − 2·0 = 10 | ≠ 0 → Incorreta |
B | 1 | 8 + 2 − 2·1 = 8 | ≠ 0 → Incorreta |
C | 3 | 8 + 2 − 2·3 = 4 | ≠ 0 → Incorreta |
D | 5 | 8 + 2 − 2·5 = 0 | = 0 → Correta |
E | 7 | 8 + 2 − 2·7 = −4 | Negativa → Inviável |
O valor 0 corresponderia a variáveis não correlacionadas (Cov = 0), o que implicaria Var(X − Y) = Var(X) + Var(Y) = 10, contrariando o dado de que essa variância é nula. A banca coloca 0 como distrator para quem confunde covariância nula com independência, mas aqui a relação é perfeitamente linear.
O valor 1 não satisfaz a equação: se Cov = 1, então Var(X − Y) = 8 + 2 − 2·1 = 8, que não é zero. É um distrator numérico sem correspondência com nenhuma propriedade específica.
O valor 3 também não resolve: Var(X − Y) = 8 + 2 − 2·3 = 4, diferente de zero. Novamente, um número aleatório que não decorre da fórmula.
Substituindo na fórmula: 0 = 8 + 2 − 2·Cov(X, Y) → 2·Cov(X, Y) = 10 → Cov(X, Y) = 5. Esse é o único valor que torna a variância da diferença nula, confirmando a relação linear perfeita entre X e Y.
O valor 7 daria Var(X − Y) = 8 + 2 − 2·7 = −4, o que é impossível, pois variância nunca é negativa. Esse distrator testa se o aluno percebe que a covariância não pode exceder o produto dos desvios padrão (aqui, √8·√2 = 4), o que já eliminaria 7.
A banca explora a confusão entre o sinal da covariância na fórmula da diferença. Muitos candidatos usam Var(X − Y) = Var(X) + Var(Y) + 2·Cov(X, Y) (fórmula da soma) e chegam a um valor negativo ou errado. Lembre-se: na diferença, o termo é −2·Cov(X, Y). Além disso, o valor 7 é um distrator que viola o limite |Cov| ≤ σX·σY = 4, então qualquer alternativa acima de 4 já é suspeita.
Para questões de covariância, sempre escreva a fórmula geral da variância de combinação linear antes de substituir. Se a variância da diferença é nula, a covariância é a média aritmética das variâncias: Cov = (Var(X) + Var(Y))/2. Isso resolve na hora.
Gabarito: letra D.
Link permanente: /questoes/fg072850