Questão de Estatística — Inferência estatística — FGV 2023

Teste de Hipóteses: Erros Tipo I e Tipo II

Gabarito: letra B. O erro do tipo II ocorre exatamente quando a hipótese nula é falsa e não é rejeitada — é a definição clássica de teste de hipóteses. As demais alternativas trocam os conceitos: o erro tipo I é rejeitar a hipótese nula quando ela é verdadeira, o p-valor não é a probabilidade de a hipótese nula ser verdadeira, o poder do teste não aumenta quando o erro tipo I diminui, e os erros tipo I e II são relacionados (um tende a aumentar quando o outro diminui).

O teste de hipóteses é um procedimento de inferência estatística que parte de uma hipótese nula ($H_0$), suposta verdadeira, e uma hipótese alternativa ($H_1$). Com base em uma amostra, decide-se rejeitar ou não rejeitar $H_0$. Nesse processo, dois erros são possíveis:

• Erro tipo I (α): rejeitar $H_0$ quando ela é verdadeira.

• Erro tipo II (β): não rejeitar $H_0$ quando ela é falsa.

A probabilidade do erro tipo I é o nível de significância (α), controlado pelo pesquisador. A probabilidade do erro tipo II (β) depende do tamanho da amostra, do valor real do parâmetro e do nível de significância. O poder do teste é a probabilidade de rejeitar $H_0$ quando ela é falsa, ou seja, $1 - \beta$.

A relação entre os erros é inversa: para um dado tamanho de amostra, se você diminui α (torna o teste mais exigente para rejeitar $H_0$), a região de rejeição fica menor, o que aumenta β e, consequentemente, diminui o poder. Para aumentar o poder sem aumentar α, é preciso aumentar o tamanho da amostra.

O p-valor é a probabilidade de obter um valor da estatística de teste igual ou mais extremo do que o observado, supondo que $H_0$ seja verdadeira. Ele não é a probabilidade de $H_0$ ser verdadeira — essa é uma interpretação bayesiana incorreta, frequentemente explorada em provas.

Alternativa A — ❌ Incorreta

A alternativa inverte o conceito: rejeitar a hipótese nula quando ela é verdadeira é o erro do tipo I, não o tipo II. O erro tipo II ocorre quando a hipótese nula é falsa e não é rejeitada.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Esta é a definição exata do erro do tipo II: a hipótese nula é falsa, mas o teste não a rejeita. É o erro de "deixar passar" uma hipótese falsa, também chamado de "falso negativo".

Alternativa C — ❌ Incorreta

O p-valor não é a probabilidade de a hipótese nula ser verdadeira. Ele é a probabilidade de obter um resultado tão ou mais extremo quanto o observado, assumindo que $H_0$ é verdadeira. A confusão entre essas duas interpretações é uma pegadinha clássica.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O poder do teste ($1 - \beta$) diminui quando a probabilidade do erro tipo I (α) diminui, para um tamanho de amostra fixo. Isso porque reduzir α torna a região de rejeição menor, aumentando β. Para aumentar o poder mantendo α baixo, é preciso aumentar a amostra.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Os erros tipo I e tipo II são relacionados: para um tamanho de amostra fixo, diminuir um tende a aumentar o outro. A única forma de reduzir ambos simultaneamente é aumentar o tamanho da amostra.

Gabarito: letra B.