Questão de Estatística — Principais distribuições de probabilidade — FGV 2023

Estimador de Máxima Verossimilhança (EMV) na Distribuição de Poisson

Gabarito: letra A. O estimador de máxima verossimilhança (EMV) para o parâmetro $\lambda$ de uma distribuição de Poisson é a média amostral $\bar{X} = \frac{1}{n} \sum X_i$. Como o desvio padrão populacional da distribuição de Poisson é $\sigma = \sqrt{\lambda}$, pelo princípio da invariância dos estimadores de máxima verossimilhança, o EMV do desvio padrão é a raiz quadrada do EMV de $\lambda$, ou seja, $\sqrt{\bar{X}} = \sqrt{\frac{1}{n} \sum X_i}$.

O método da máxima verossimilhança busca o valor do parâmetro que maximiza a probabilidade de observar a amostra coletada. Para uma amostra aleatória $X_1, X_2, \dots, X_n$ de uma população Poisson com parâmetro $\lambda$, a função de verossimilhança $L(\lambda)$ é o produto das funções de probabilidade individuais. Ao maximizar essa função (geralmente através do logaritmo, a log-verossimilhança), obtém-se que o estimador $\hat{\lambda}_{MV}$ é exatamente a média aritmética dos dados observados.

Uma propriedade fundamental dos estimadores de máxima verossimilhança é a invariância: se $\hat{\theta}$ é o EMV de $\theta$, então $g(\hat{\theta})$ é o EMV de $g(\theta)$ para qualquer função $g$ contínua. No caso da Poisson, temos $\lambda = \sigma^2$. Portanto, o desvio padrão é $\sigma = \sqrt{\lambda}$. Aplicando a propriedade, o EMV do desvio padrão é simplesmente a raiz quadrada do EMV de $\lambda$.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Esta alternativa apresenta a expressão $\sqrt{\frac{1}{n} \sum X_i}$, que corresponde exatamente à raiz quadrada da média amostral ($\sqrt{\bar{X}}$), sendo o estimador de máxima verossimilhança correto para o desvio padrão da distribuição de Poisson.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Esta alternativa apresenta $\sqrt{\frac{1}{n} \sum X_i^2}$. Esta expressão não corresponde ao estimador de máxima verossimilhança do desvio padrão da Poisson, mas sim a uma forma relacionada ao segundo momento amostral, que não é o parâmetro de interesse aqui.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Esta alternativa utiliza o divisor $(n-1)$ dentro da raiz, o que é característico de estimadores não viesados da variância amostral (como o $s^2$), mas não é o estimador de máxima verossimilhança para o desvio padrão da Poisson.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Esta alternativa apresenta a raiz quadrada da variância amostral ($\sqrt{\frac{1}{n} \sum (X_i - \bar{X})^2}$), que é o estimador de máxima verossimilhança do desvio padrão para uma distribuição Normal, e não para a Poisson.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Esta alternativa apresenta a raiz quadrada da variância amostral corrigida ($\sqrt{\frac{1}{n-1} \sum (X_i - \bar{X})^2}$), que é o desvio padrão amostral ($s$), um estimador não viesado para o desvio padrão populacional em diversos contextos, mas não é o estimador de máxima verossimilhança para o parâmetro da Poisson.